第24章 专项8　解直角三角形问题的热点模型-【勤径学升】2023-2024学年九年级上册数学同步练测配套教师用书（华东师大版）

专项8　解直角三角形问题的热点模型 “单一”型三角形　  图①是一辆吊车的实物图，图②是其示意图，AC是可以伸缩的起重臂，其转动点A离地面BD的高度AH为3.4 m.当起重臂AC的长度为9 m，张角∠HAC为118°时，求操作平台C离地面的高度.（结果精确到0.1 m.参考数据：sin 28°≈0.47， cos 28°≈0.88， tan 28°≈0.53） 1题图①　　　　　　1题图② “母子”型三角形　  （湖北十堰郑阳模拟）如图，为测量建筑物CD的高度，在A点测得建筑物顶部D点的仰角为45°，再向建筑物CD前进30米到达B点，测得建筑物顶部D点的仰角为60°（A、B、C三点在一条直线上），则建筑物CD的高度为（　　） 2题图 A.（15＋15 ）米 B.（45＋15 ）米 C.（15 －15）米 D.（45－15 ）米 （广东广州越秀模拟）如图，睿智数学兴趣小组为了测量河对岸l1的两棵古树A、B之间的距离，他们在河边沿着与AB平行的直线l2取C、D两点，测得∠ACB＝15°，∠ACD＝45°，若l1，l2之间的距离CE为50 m，则古树A、B之间的距离为　　　　m.（结果保留根号）  3题图 （广西梧州中考）去年，我国“巅峰使命”2022珠峰科考团对珠穆朗玛峰进行综合科学考察，搭建了世界最高海拔的自动气象站，还通过释放气球方式进行了高空探测.某学校兴趣小组开展实践活动，通过观测数据，计算气球升空的高度AB.如图，在平面内，点B、C、D在同一直线上，AB⊥CB，垂足为点B，∠ACB＝52°，∠ADB＝60°，CD＝200 m，求AB的高度.（精确到1 m.参考数据： sin 52°≈0.79，cos 52°＝0.62，tan 52°≈1.28，≈1.73） 4题图 “背靠背”型三角形　  如图是抛物线形拱桥的示意图，P处有一照明灯，水面OA宽4 m，从O、A两处观测P处，仰角分别为α、β，且tan α＝，tan β＝，以O为原点，OA所在直线为x轴，过点O且垂直于OA的直线为y轴建立平面直角坐标系，则点P到水面OA的距离是　　　　m. 5题图 （四川泸州中考）如图，海中有两小岛C、D.某渔船在海中的A处测得小岛C位于东北方向，小岛D位于南偏东30°方向，且A、D相距10 n mile.该渔船自西向东航行一段时间后到达点B，此时测得小岛C位于西北方向且与点B相距8 n mile.求B、D间的距离.（计算过程中的数据不取近似值） 6题图 “拥抱”型三角形　  （河南洛阳期末）大楼AB是某地标志性建筑，如图，某校九年级数学社团为测量大楼AB的高度，一小组先在附近一楼房CD的底端C点，用高为1.5米的测杆CE观测大楼AB顶端B处的仰角是72°，另一小组到该楼房顶端D点处观测大楼AB底部A处的俯角是30°，已知楼房CD高是45米.根据以上观测数据，求大楼AB的高度.（结果精确到0.1米.参考数据：≈1.732，sin 72°≈0.951，cos 72°≈0.309，tan 72°≈3.078） 7题图 （鄂州中考）亚洲第一、中国唯一的航空货运枢纽——鄂州花湖机场，于2022年3月19日完成首次全货运试飞，很多市民共同见证了这一历史时刻，如图，市民甲在C处看见飞机A的仰角为45°，同时另一市民乙在斜坡CF上的D处看见飞机A的仰角为30°.若斜坡CF的坡比＝1∶3，铅垂高度DG＝30米（点E、G、C、B在同一水平线上）.求： （1）两位市民甲、乙之间的距离CD； （2）此时飞机的高度AB.（结果保留根号） 8题图 $$专项8　解直角三角形问题的热点模型 1.解：如答图，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作AF⊥CE于点F. 1题答图 易得四边形AHEF为矩形， ∴EF＝AH＝3.4 m.∠HAF＝90°， ∴∠CAF＝∠CAH－∠HAF ＝118°－90°＝28°. 在Rt△ACF中.∵sin∠CAF＝， ∴CF＝9·sin 28°≈9×0.47＝4.23（m）. ∴CE＝CF＋EF≈4.23＋3.4≈7.6（m）. 答：操作平台C离地面的高度约为7.6 m. 2.B　[解析]由题意可得AB＝30米，∠A＝45°，∠DBC＝60°.在Rt△BCD中，设BC＝x米，则tan∠DBC＝tan 60°＝＝＝，解得CD＝x米.在Rt△ACD中，AC＝（30＋x）米，∠A＝45°，则CD＝AC，即x＝30＋x，解得x＝15（＋1），∴CD＝15（＋1）×＝（45＋15 ）米，故选B. 3.　[解析]在Rt△ACE中，CE＝50 m，∠ACE＝45°，∴AE＝CE＝50 m.∵∠ACB＝15°， ∴∠BCE＝30°.在Rt△BCE中，CE＝50 m，∴BE＝CE·tan 30°＝（m），∴AB＝AE－BE＝ m. 4.解：设AB＝x m.在Rt△