第24章 专项7　锐角三角函数综合应用-【勤径学升】2023-2024学年九年级上册数学同步练测配套教师用书（华东师大版）

专项7　锐角三角函数综合应用 锐角三角函数新定义型　  （江西景德镇一中期中）设θ为直角三角形的一个锐角，给出θ角的三角函数的两条基本性质：①tan θ＝；②cos2θ＋sin2θ＝1，利用这些性质解答本题.已知cos θ＋sin θ＝，求值： （1）tan θ＋； （2）｜cos θ－sin θ｜. 锐角三角函数与图形的变换综合　  如图，将以点A为直角顶点的等腰直角三角形ABC沿直线BC平移得到△A'B'C'，使点B'与点C重合，连结A'B，则tan∠A'BC'的值为？ 2题图 （云南昆明月考）如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，已知折痕AE＝5，且tan∠EFC＝，那么矩形ABCD的周长为？ 3题图 锐角三角函数与一元二次方程综合　  对于钝角α，定义它的三角函数值如下：sin α＝sin（180°－α），cos α＝－cos（180°－α）. （1）求sin 120°、cos 120°、sin 150°的值； （2）若一个三角形的三个内角的比是1∶1∶4，A、B是这个三角形的两个顶点，sin A、cos B是方程4x2－mx－1＝0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B的大小. $$专项7　锐角三角函数综合应用 1.解：（1）∵cos θ＋sin θ＝，∴（cos θ＋sin θ）2＝，∴cos2 θ＋2cos θ·sin θ＋sin2 θ＝， ∴cos θ·sin θ＝，∴tan θ＋＝＋＝＝＝4. （2）∵（cos θ－sin θ）2＝cos2 θ－2cos θ·sin θ＋sin2 θ＝1－2×＝，∴cos θ－sin θ＝±， ∴｜cos θ－sin θ｜＝. 2.解：如答图，过点A'作A'D⊥BC'于点D.在等腰直角三角形A'B'C'中，易知A'D是底边B'C'上的中线，∴A'D＝B'D＝B'C'.∵BC＝B'C'，∴BD＝BC＋B'D＝B'C'＋B'D＝B'C'，∴tan∠A'BC'＝＝＝. 2题答图 3.解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，∠B＝∠C＝∠D＝90°.由折叠的性质得 ∠AFE＝∠D＝90°，EF＝ED，AF＝AD.∵tan∠EFC＝＝，∴设CE＝3k，则CF＝4k.由勾股定理得DE＝EF＝＝5k，∴DC＝AB＝8k.∵∠AFB＝∠BAF＝90°，∠AFB＋∠EFC＝90°，∴∠BAF＝∠EFC，∴tan∠BAF＝＝tan∠EFC＝，∴BF＝6k，AF＝BC＝AD＝10k.在 Rt△AFE中，由勾股定理得AE＝＝＝5 k＝5 ，∴k＝1，∴矩形ABCD的周长为2（AB＋BC）＝2（8k＋10k）＝36. 4.解：（1）由题意得 sin 120°＝sin（180°－120°）＝sin 60°＝， cos 120°＝－cos（180°－120°）＝－cos 60°＝－， sin 150°＝sin（180°－150°）＝sin 30°＝. （2）∵该三角形的三个内角的比是1∶1∶4， ∴该三角形的三个内角分别为30°，30°，120°. ∵sin A、cos B是方程的两个不相等的实数根， ∴sin A＋cos B＝，sin A·cos B＝－. ∵A、B是三角形两个顶点，∴sin A＞0，cos B＜0， ∴∠A＝30°，∠B＝120°，∴＋＝， ∴m＝0. $$