第一章 空间向量与立体几何（知识归纳+6类题型突破）-2023-2024学年高二数学单元速记·巧练（人教A版2019选择性必修第一册）

第一章 空间向量与立体几何（知识归纳+题型突破） 1.能够理解空间向量的概念,运算、背景和作用; 2.能够依托空间向量建立空间图形及图形关系的想象力; 3.能够掌握空间向量基本定理,体会其作用,并能简单应用; 4.能够运用空间向量解决一些简单的实际问题，体会用向量解决一类问题的思路. 一、空间向量的有关概念 1、概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模；如空间中的位移速度、力等． 2、几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为 共线向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量  共面向量 平行于同一个平面的向量 二、空间向量的有关定理 1、共线向量定理： 对空间任意两个向量，的充要条件是存在实数，使． （1）共线向量定理推论：如果为经过点平行于已知非零向量的直线,那么对于空间任一点,点在直线上的充要条件是存在实数,使①，若在上取，则①可以化作： （2）拓展(高频考点）：对于直线外任意点，空间中三点共线的充要条件是，其中 2、共面向量定理 如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使 （1）空间共面向量的表示 如图空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使． 或者等价于：对空间任意一点，空间一点位于平面内（四点共面）的充要条件是存在有序实数对，使，该式称为空间平面的向量表示式，由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定． （2）拓展 对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）． 3、空间向量基本定理 如果向量三个向量不共面，那么对空间任意向量存在有序实数组使得 三、空间向量的数量积 1、空间两个向量的夹角 （1）定义：已知两个非零向量，在空间任取一点，作，，则么叫做向量的夹角，记. （2）范围：． 特别地，（1）如果，那么向量互相垂直，记作． (2)由概念知两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为，故(或)(为非零向量)． (3)零向量与其他向量之间不定义夹角，并约定与任何向量都是共线的，即．两非零向量的夹角是唯一确定的． （3）拓展（异面直线所成角与向量夹角联系与区别） 若两个向量所在直线为异面直线，两异面直线所成的角为， (1)向量夹角的范围是0<<><，异面直线的夹角的范围是0<<， (2)当两向量的夹角为锐角时，；当两向量的夹角为时，两异面直线垂直；当两向量的夹角为钝角时，. 2、空间向量的数量积 定义：已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作；即．规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 3、向量的投影 3.1．如图(1)，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，向量称为向量在向量上的投影向量．类似地，可以将向量向直线投影(如图(2))． 3.2．如图(3)，向量向平面投影，就是分别由向量的起点和终点作平面的垂线，垂足分别为，，得到，向量称为向量在平面上的投影向量．这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面所成的角． 4、空间向量数量积的几何意义：向量，的数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积或等于的长度与在方向上的投影的乘积. 5、数量积的运算： （1），. （2）(交换律)． （3）(分配律). 四、空间向量的坐标表示及其应用 设，，空间向量的坐标运算法则如下表所示： 数量积 共线（平行） 垂直 （均非零向量） 模 ，即 夹角 五、直线的方向向量和平面的法向量 1、直线的方向向量 如图①,是直线的方向向量,在直线上取,设是直线上的任意一点,则点在直线上的充要条件是存在实数,使得，即 2、平面法向量的概念 如图，若直线 ，取直线 的方向向量 ，我们称为平面的法向量；过点且以为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 ． 3、平面的法向量的求法 求一个平面的法向量时，通常采用待定系数法，其一般步骤如下: 设向量：设平面的法向量为 选向量：选取两不共线向量 列方程组：由列出方程组 解方程组：解方程组 赋非零值：取其中一个为非零值（常取) 得结论：得到平面的一个法向量. 六、空间位置关系的向量表示 设分别是直线的方向向量，分别是平面的法向量． 线线平行 ，使得 注：此处不考虑线线重合的情况．但用向量方法证明线线平行时，必须说明两直线不重合 线面平行 注：证明线面平行时，必须说明直线不在平面内； 面面平行 ，使得 注:证明面面平行时，必须说明两个平面不重合．