第26章 专项2　二次函数的最值问题-【勤径学升】2023-2024学年九年级下册数学同步练测配套教师用书（华东师大版）

线段最值问题　　 (合肥庐阳区期中)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(－6，0)，B(3，0)，与y轴交于点C(0，6)，直线AD：y＝mx＋2与该抛物线交于点A、D，作y轴的平行线分别交抛物线、直线AD和x轴于点P、Q、R，点R位于点O、A之间． (1)求抛物线和直线AD的表达式； (2)求线段PQ的最大值； (3)连结PC，设AD与y轴交于点E，若四边形PCEQ是平行四边形，求点P的坐标． 三角形周长最值问题　　 (山东潍坊期末)如图，在平面直角坐标系中，二次函数图象经过A(－2，0)，B(2，2)，C(0，2)三个点． (1)求该二次函数的表达式； (2)若在该函数图象的对称轴上有个动点D，求当D点坐标为何值时，△ACD的周长最小． 三角形面积最值问题　　 (浙江温州校级模拟)如图，在菱形ABCD中，AB＝AC＝4 cm，动点P从点A开始沿AD边以1 cm/s的速度运动，动点Q从点D开始沿DC边以2 cm/s的速度运动，点P和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，则S△DPQ的最大值为________. (东莞模拟)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过A(1，0)，B(3，0)，C(0，6)三点，直线y＝2x＋b′经过点A，交抛物线于点D. (1)求抛物线的表达式； (2)点E在线段AD上，且满足S△BDE＝2S△ABE，点F在x轴下方的抛物线上，设点F的横坐标为t，当t为何值时，△FBE的面积最大？请求出最大值． $$专项2　二次函数的最值问题 1．解：(1)∵抛物线经过点A(－6，0)，B(3，0)，C(0，6)， ∴解得 故抛物线的表达式为y＝－x2－x＋6. ∵直线AD经过点A(－6，0)， ∴－6m＋2＝0，解得m＝. 故直线AD的表达式为y＝x＋2. (2)设点P的坐标为(－6<t<0)， 则点Q的坐标为. 由题意，得PQ＝－＝－t2－t＋4＝－(t＋2)2＋， ∴当t＝－2时，PQ有最大值，最大值为. (3)∵AD与y轴交于点E，∴E(0，2)，∴CE＝4. 若四边形PCEQ是平行四边形，则PQ＝CE， 即－(t＋2)2＋＝4. 解得t＝－4或t＝0(舍去). 当t＝－4时，－t2－t＋6＝， 故点P的坐标为. 2．解：(1)设二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0). 将A(－2，0)，B(2，2)，C(0，2)三点的坐标代入，得解得 ∴抛物线的表达式为y＝－x2＋x＋2. (2)如答图，设二次函数图象与x轴的另一个交点为E. ∵抛物线的表达式为y＝－x2＋x＋2， ∴对称轴为直线x＝1. ∵抛物线与x轴的一个交点为A(－2，0)， ∴抛物线与x轴的另一个交点为E(4，0). 连结CE，与对称轴x＝1交于点D，点D即为所求． 设直线CE的表达式为y＝kx＋t(k≠0).将C(0，2)，E(4，0)代入，得解得 ∴直线CE的表达式为y＝－x＋2. 当x＝1时，y＝，∴点D的坐标为， ∴当D点坐标为时，△ACD的周长最小． 3．2 cm2 4．解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(1，0)，B(3，0)， ∴设抛物线的表达式为y＝a(x－1)(x－3). 把点C(0，6)代入，得a(0－1)(0－3)＝6， ∴a＝2， ∴抛物线的表达式为y＝2(x－1)(x－3)＝ 2x2－8x＋6. (2)∵直线y＝2x＋b′过点A(1，0)， ∴2＋b′＝0，∴b′＝－2， ∴直线AD的表达式为y＝2x－2. 由解得或 ∴D(4，6). ∵A(1，0)，B(3，0)，∴AB＝2， ∴S△ABD＝×2×6＝6. 设点E(m，2m－2)，∵S△BDE＝2S△ABE， ∴S△ABE＝S△ABD＝2. ∴×2×(2m－2)＝2，∴m＝2， ∴E(2，2)， ∴直线BE的表达式为y＝－2x＋6. 过点F作FG∥y轴交直线BE于点G， ∵F(t，2t2－8t＋6)(1<t<3)， ∴G(t，－2t＋6)， ∴FG＝－2t＋6－(2t2－8t＋6)＝－2t2＋6t. 当1<t<2时，点G在线段BE的延长线上， ∴S△FBE＝S△FBG－S△FEG＝FG(xB－xE) ＝(－2t2＋6t)×(3－2) ＝－＋， ∴当t＝时，S△FBE有最大值， 当2≤t<3时，点G在线段BE上， ∴S△FBE＝S△FEG＋S△FEG＝FG(xB－xE) ＝(－2t2＋6t)×(3－2) ＝－＋， ∴当t＝2时，S△FBE有最大值2. 综上，当t＝时，△FBE的面积最大，最大值为. $$