专题13.7 画轴对称图形（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题13.7 画轴对称图形（知识梳理与考点分类讲解） 【知识点一】对称轴的作法 若两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．因此只要找到一对对应点，再作出连接它们的线段的垂直平分线就可以得到这两个图形的对称轴．轴对称图形的对称轴作法相同． 要点提醒： 在轴对称图形和成轴对称的两个图形中，对应线段、对应角相等.成轴对称的两个图形，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点一定在对称轴上.如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称. 【知识点二】用坐标表示轴对称 1.关于x轴对称的两个点的横（纵）坐标的关系 已知P点坐标（a,b），则它关于x轴的对称点的坐标为(a,-b)，如下图所示： 　 即关于轴的对称的两点，坐标的关系是：横坐标相同，纵坐标互为相反数． 2.关于y轴对称的两个点横（纵）坐标的关系 　 已知P点坐标为，则它关于轴对称点的坐标为，如上图所示． 　 即关于轴对称的两点坐标关系是：纵坐标相同，横坐标互为相反数． 3.关于与x轴（y轴）平行的直线对称的两个点横（纵）坐标的关系 　 P点坐标关于直线的对称点的坐标为． P点坐标关于直线的对称点的坐标为． 【考点一】轴对称➼➻画轴对称图形 【例1】在平面直角坐标系中的位置如图所示．  (1) 在图中作出与关于轴对称的，并写出的坐标． (2) 在轴上画出点，使得的值最小． 【答案】(1)见分析，；(2)见分析 【分析】（1）先根据轴对称的性质画出点，再顺次连接即可得； （2）先作点关于轴的对称点，再连接，与轴的交点即为所求． （1）解：如图，即为所求， 由图可知，． （2）解：如图，点即为所求．   ． 【点拨】本题考查了画轴对称图形、点坐标的轴对称变换、两点之间线段最短，熟练掌握轴对称的性质是解题关键． 【举一反三】 【变式】如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，．   (1) 的面积是________； (2) 把向下平移4个单位长度，再以y轴为对称轴作出它的对称图形，得到，请你画出 ； (3) 分别写出，，三点的对应点，，的坐标． 【答案】(1)4；(2)作图见分析；(3)，，． 【分析】（1）根据网格利用割补法将补成正方形，减去补出来的三角形； （2）根据平移的性质把向下平移4个单位长度，再根据轴对称的性质以y轴为对称轴，得； （3）根据题意可得，，的坐标． （1）解： ； 故答案为：4． （2）如图，即为所求；    （3），，． 【点拨】本题考查旋转及平移作图，熟练掌握基础知识是解题的关键．其中，割补法常用于网格中计算不规则图形的面积，学会利用格点进行割补是解题基础． 【考点二】轴对称➼➻坐标与图形的变化 【例2】如图，已知 ， (1) 画出关于轴对称的； (2) 写出各顶点的坐标； (3) 求出的面积． 【答案】(1)见分析；(2)；(3) 【分析】（1）根据关于y轴对称的点的坐标特点找到A、B、C对应点的位置，然后顺次连接即可； （2）根据（1）所画图形即可得到答案； （3）利用割补法求解即可． （1）解：如图所示，即为所求； （2）解：由图可知； （3）解：由题意得，． 【点拨】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，割补法求三角形面积，熟知关于y轴对称的点横坐 标互为相反数，纵坐标相同是解题的关键． 【举一反三】 【变式】如图，在所给正方形网格图中完成下列各题：(用直尺画图，保留痕迹)      (1) 画出格点(顶点均在格点上)关于直线对称的； (2) 在上画出点，使最小； (3) 求的面积． 【答案】(1)如解析图；(2)如解析图；(3)． 【分析】（1）分别作出，，的对应点，，即可； （2）连接交直线于点，连接，点即为所求； （3）利用分割法求三角形的面积即可； 解：（1）如图，即为所求；    （2）如上图，连接交直线于点，连接，点即为所求； （3）如图，    ， ∴， ， ， ， ， ∴的面积为：． 【点拨】此题考查作图-轴对称变换，求三角形的面积，两点之间线段最短等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 【考点三】轴对称➼➻轴对称综合题（几何变换） 【例3】如图1，在等腰直角三角形中，，，点在边上，连接，，，连接，． (1) 求证：； (2) 点关于直线的对称点为，连接，． ① 补全图形并证明； ② 试探究，当，，三点恰好共线时．的度数为___________． 【答案】(1)见分析；(2)①见分析；② 【分析】（1）先判断出，进而判断出，即可得出结论； （2）①先判断出，再根据（1）得出即可得出结论；②先判断得出，进而得出，再判断出，进而得出，最后求出即可得出结论． 解：（1）证明：，