专题05 等腰三角形、直角三角形中的分类讨论问题专训-2023-2024学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

专题05 等腰三角形、直角三角形中的分类讨论问题专训 【题型目录】 题型一 等腰三角形中的分类讨论问题专训 题型二 直角三角形中的分类讨论问题专训 【知识梳理】 1、等腰三角形中的分类讨论： 【解题技巧】凡是涉及等腰三角形边、角、周长、面积等问题，优先考虑分类讨论，再利用等腰三角形的性质与三角形三边关系解题即可． 1.无图需分类讨论 ①已知边长度无法确定是底边还是腰时要分类讨论；②已知角度数无法确定是顶角还是底角时要分类讨论； ③遇高线需分高在△内和△外两类讨论；④中线把等腰△周长分成两部分需分类讨论． 2.“两定一动”等腰三角形存在性问题：（常见于与坐标系综合出题，后续会专题进行讲解） 即：如图：已知，两点是定点，找一点构成等腰 方法：两圆一线 具体图解：①当时，以点为圆心，长为半径作⊙，点在⊙上（，除外） ②当时，以点为圆心，长为半径作⊙，点在⊙上（，除外） ③当时，作的中垂线，点在该中垂线上（除外） 【经典例题一 等腰三角形中的分类讨论问题】 【例1】1．（2023春·重庆渝中·七年级重庆巴蜀中学校考期末）在平面直角坐标系中，已知，，若点在坐标轴上，且为等腰三角形，则满足条件的点的个数是（    ）    A．3 B．4 C．6 D．7 【变式训练】 1．（2023春·四川达州·八年级校考阶段练习）如图．在中，，．点P为直线上一动点，若点P与三个顶点中的两个顶点构造成等腰三角形，那么满足条件的点P的位置有（　　） A．4个 B．6个 C．8个 D．9个 2．（2023秋·山东滨州·八年级统考期末）(1)如图，在等边中，平分交于点，过点作于点，且，则的长为______________ (2) 如图，在平面直角坐标系中，点，点P在坐标轴上，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有 ___________个． 3．（2023·辽宁鞍山·统考三模）在中，，分别以点，点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于，两点，直线与交于点，连接，若为等腰三角形，则的度数为___________． 4．（2023春·上海杨浦·七年级统考期末）已知在中，，点是边上一点，．    (1)如图1，试说明的理由； (2)如图2，过点作，垂足为点，与相交于点． ①试说明的理由； ②如果是等腰三角形，求的度数． 5．（2020秋·广东潮州·八年级统考期中）如图，已知中，，，点D为的中点．如果点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段上由点A向点C以的速度运动．若P，Q两点分别从B，A两点同时出发，回答下列问题：    (1)经过后，此时______，______； (2)在（1）的条件下，证明：； (3)求经过多少秒后，为等腰三角形且周长为? 【知识梳理】 2、直角三角形中的分类讨论： 【解题技巧】 1.无图需分类讨论——经典运用：已知边长度无法确定是直角边还是斜边时要分类讨论． 2.“两定一动”直角三角形存在性问题：（常见于与坐标系综合出题，后续会专题进行讲解） 即：如图：已知，两点是定点，找一点构成 方法：两线一圆 具体图解：①当时，过点作的垂线，点在该垂线上（除外） ②当时，过点作的垂线，点在该垂线上（除外） ③当时，以为直径作圆，点在该圆上（，除外） 【经典例题二 直角三角形中的分类讨论问题】 【例2】（2023秋·河南洛阳·八年级统考期末）如图，点、分别是边长为的等边的边、上的动点，点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都是，当运动时间为（    ）秒时，是直角三角形． A．5 B．5或 C．5或 D．或 【变式训练】 1．（2023春·新疆乌鲁木齐·八年级乌市八中校考开学考试）如图，点P、Q分别是边长为的等边的边上的动点（其中P，Q不与端点重合），点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为，连接交于点M，下列结论：①；②的度数等于；③当为直角三角形时，秒．其中正确的结论有（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 2．（2023春·北京海淀·八年级中关村中学校考期中）如图，在中，，，，有一动点自向以的速度运动，动点自向以的速度运动，若，同时分别从，出发．    （1）经过___________秒，为等边三角形； （2）经过___________秒，为直角三角形． 3．（2023春·江苏无锡·七年级校联考期中）如图，在中，，，平分交于点D，点E是上一个动点．若是直角三角形，则的度数可以是_____． 4．（2022秋·江苏无锡·八年级无锡市东林中学校考期中）如图1，在中，，动点以每秒的速度从点出发，沿线段向点运动．设点的运动时间为秒． （知识储备：一个角是的等腰三角形是等边三角形．直角三角形中角所