专题08 勾股定理中的最短路径问题-2023-2024学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

专题08 勾股定理中的最短路径问题 【题型目录】 题型一 与长方形有关的最短路径问题 题型二 与圆柱有关的最短路径问题 题型三 与台阶有关的最短路径问题 题型四 将军饮马与最短路径问题 【知识梳理】 勾股定理中的最短路径问题 几何体中最短路径基本模型如下： 基本思路：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直角三角形，利用勾股定理求解． 勾股定理中的翻折问题 勾股定理在有关图形折叠计算的问题中的共同方法是：在图形中找到一个直角三角形，然后设图形中某一未知数为x，将此三角形中的三边长用具体数或含x的代数式表示，再利用勾股定理列出方程，从而得出要求的线段的长度． 【经典例题一 与长方形有关的最短路径问题】 【解题思路】计算跟长方体有关的最短路径问题时，要熟悉长方体的侧面展开图，利用两点之间线段最短结合勾股定理进行求解，注意长方体展开图的多种情况和分类讨论． 要点总结：1）长方体展开图分类讨论时可按照“前＋右”、“前＋上”和“左＋上”三种情况进行讨论； 2）两个端点中有一个不在定点时讨论方法跟第一类相同． 【例1】（2023秋·四川成都·八年级统考期末）一个长方体盒子的长、宽、高分别为，，，点离点的距离是，一只蚂蚁想从盒底的点沿盒的表面爬到点，蚂蚁爬行的最短路程是（  ）    A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2022秋·广东茂名·八年级茂名市第一中学校考期中）固定在地面上的一个正方体木块（如图①），其棱长为，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）去掉一角，得到如图②所示的几何体木块，一只蚂蚁沿着该木块的表面从点A爬行到点B的最短路程为（    ） A． B． C． D． 2．（2023春·全国·八年级阶段练习）如图，长方体的长为2，宽为1，高为3，一只蚂蚁从点A出发，沿长方体的外表面到点B处觅食，则它爬行的最短路程为（　　） A． B． C． D． 3．（2023春·重庆沙坪坝·七年级重庆一中校考期末）如图是一个底面为正方形的长方体，已知该长方体底面边长为，高为，若一只飘虫沿着长方体的表面从点A爬到点，则需要爬行的最短距离是 ．    4．（2023春·安徽合肥·八年级校考期中）如图，正方体盒子的棱长为，O为的中点，现有一只蚂蚁位于点C处，它想沿正方体的表面爬行到点O处获取食物，则蚂蚁需爬行的最短路程为 ．    5．（2023秋·河南南阳·八年级校考期末）勾股定理是解决直角三角形很重要的数学定理．这个定理的证明的方法很多，也能解决许多数学问题．请按要求作答： (1)用语言叙述勾股定理； (2)选择图1、图2、图3中一个图形来验证勾股定理； (3)利用勾股定理来解决下列问题： 如图4，一个长方体的长为8，宽为3，高为5．在长方体的底面上一点A处有一只蚂蚁，它想吃长方体上A与点相对的B点处的食物，则蚂蚁需要沿长方体表面爬行的最短路程是多少?（画出图形，并说明理由） 6．（2023春·广东广州·八年级广州大学附属中学校考阶段练习）一只蚂蚁沿图①中立方体的表面从顶点A爬到顶点B，图②是图①立方体的表面展开图，设立方体的棱长为1． (1)在图②中标出点B的位置． (2)求蚂蚁从点A到点B爬行的最短路径长． 【经典例题二 与圆柱有关的最短路径问题】 【解题思路】计算跟圆柱有关的最短路径问题时，要注意圆柱的侧面展开图为矩形，利用两点之间线段最短结合勾股定理进行求解，注意展开后两个端点的位置，有时候需要用底面圆的周长进行计算，有时候需要用底面圆周长的一半进行计算． 要点总结： 1）运用勾股定理计算最短路径时，按照展开—定点—连线—勾股定理的步骤进行计算； 2）缠绕类题型可以求出一圈的最短长度后乘以圈数． 【例2】（2023春·河南新乡·八年级新乡市第十中学校考期末）如图，小冰想用一条彩带缠绕圆柱4圈，正好从A点绕到正上方的B点，已知知圆柱底面周长是3m，高为16m，则所需彩带最短是（　　）m．    A．8 B．5 C．20 D．10 【变式训练】 1．（2022秋·河南郑州·八年级校考期中）如图，圆柱形容器高为，底面周长为．在容器内壁距离容器底部的点处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，距离容器上沿的点处，则壁虎捕捉蚊子需爬行的最短距离为（    ）（不计壁厚） A． B． C．10 D．20 2．（2022秋·河南三门峡·八年级校考阶段练习）如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离为（    ）（杯壁厚度不计）． A．14 B．18 C．20 D．25 3．（2023秋·甘肃兰州·八年级兰州十一中校考期末）如图，在圆柱的截面中，，，动点P