2.4.2圆的一般方程课件-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2.4.2 圆的一般方程 人教A版（2019）选择性必修第一册 学习目标 1. 掌握圆的一般方程、及其推导过程与特点。 2. 会根据圆的一般方程写出圆的半径和圆心坐标。 3.会根据给定的条件求圆的一般方程，并且能用圆的一般方程解决有关问题。 4.核心素养：逻辑推理、数学抽象、数学运算 一、复习导入 直线方程的表达形式 直线的方程 斜率不存在 斜率为0 直线过原点 点斜式：= () 斜截式： 两点式：= 截距式：+=1 一般式： × √ √ × √ √ × × √ × × × √ √ √ 3 问题1：类比直线方程的研究过程，圆的方程是否也有一般式？ 二、新课讲授 1、圆的一般方程 ² 将括号打开，得到形如： 追问1：方程 是否表示圆？ 配方得到： 0， 0， 0， (-,- )，半径. (-,- ). 解，不表示任何图形. 当＞0时，我们把方程 叫做圆的一般方程. 问题2：圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点呢？ 标准方程 一般方程 方程 代数特征 系数 圆心 半径 ² 的二元二次方程 ² ＞0 6 例1 判断下列方程表示什么图形，并说明理由. （1） （2） 三、巩固新知 分析：法①：配方，转化为标准方程，找圆心半径 法②：直接用公式＞0来判断 解（1）： （1）式变形为 表示圆心为(1,-2)，半径为的圆 （2）法一： （2）式变形为 当≠0时， 表示圆心为(- ,0)，半径为的圆 当=0时， 表示点(0,0) （2）法二： 由圆的一般式方程 ，得 2 ，=0， =- ， 则=4 +4 ≥0 当＞0时， 表示圆心为(- ,0)，半径为的圆 当=0时， 表示点(0,0) 8 例2 求过三点， ，的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径. 解：设圆的方程为 ， 待定系数法 因为点在圆上，故它们都满足方程，则 解得 所以圆的一般方程为： ， 圆心为(4,-3)，半径为. 小结：待定系数法 标准方程： ² ①参量：( )、 ②三元二次方程组 一般方程： ①参量：、 ②三元一次方程组 更加适合用待定系数法 问题3：什么是待定系数法？如何运用待定系数法求圆的方程呢？ 一般先写出含有未知系数的解的形式（如一种类型的方法、算式或表达式），然后再根据问题所给的条件解得所设的未知系数.由于其中的系数是未知和待定的，这类方法就被称为待定系数法. （1）根据题意，选择标准方程或一般方程； （2）根据条件列出关于 或,的方程组； （3）解出 或,，得到标准方程或一般方程. 变式训练 已知四点， ，， ，问这四个点是否在同一个圆上. 解：设过点的圆的方程为 ，则 解得 所以圆的一般方程为： ， 将点代入圆的方程得： 左右两边相等，故在圆上. 分析：解法二 1， -1 为过, 的圆的直径 求出半径，得到圆的标准方程 将点代入方程，判断其是否在圆上 例3 已知线段的端点的坐标为端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程. 分析：如何理解轨迹和轨迹方程 直线：在平面直角坐标系中，与定点连线的倾斜角为定值的点的集合. 圆：在平面直角坐标系中，到定点的距离等于定长的点的集合. 轨迹：符合一定规则的点集. 轨迹方程：点的坐标所满足的方程. • A • B • M 解：设过点，则有 ， 于是有， ① 由于在圆上，故有 4 把①式代入得： 4 整理得 这就是点的轨迹方程，它表示以(, )为圆心，半径为1的圆. 小结： 已知定曲线上一动点，动点与存在某种关系，求动点的轨迹方程. 方法：用从动点坐标表示主动点坐标，代入给定的曲线方程. 四、课堂小结 1、圆的一般方程： 五、作业布置 课本P88：练习 第2、3题 2、从数入手，用好待定系数法、方程思想. 3、求动点的轨迹方程. $$