第4章幂函数、指数函数和对数函数知识点清单-2022-2023学年高一上学期数学湘教版（2019）必修第一册

新教材 湘教版2019版 数学必修第一册 第4章 知识点清单 目录 第4章　幂函数、指数函数和对数函数 4. 1　实数指数幂和幂函数 4. 1. 1 有理数指数幂 4. 1. 2　无理数指数幂 4. 1. 3　幂函数 4. 2　指数函数 4. 3　对数函数 4. 3. 1 对数的概念 4. 3. 2　对数的运算法则 4. 3. 3　对数函数的图象与性质 4. 4　函数与方程 4. 5　函数模型及其应用 2 / 2 第4章　幂函数、指数函数和对数函数 4. 1　实数指数幂和幂函数 4. 1. 1 有理数指数幂 4. 1. 2　无理数指数幂 一、根式 1. 若一个(实)数x的n次方(n∈N，n≥2)等于a，即xn=a，则称x是a的n次方根. 2. 当n为奇数时，数a的n次方根记作. 当a>0时， >0； 当a=0时， =0； 当a<0时， <0. 3. 当n为偶数时，正数a的n次方根有两个，它们互为相反数，其中正的n次方根叫作算术根，记作. 当a>0时，若xn=a，则x=±. 4. 规定： =0，负数没有偶次方根. 5. 式子叫作根式(n∈N，n≥2)，n叫作根指数，a叫作被开方数. 6. 一般地，有( )n=a. 当n为奇数时， =a； 当n为偶数时， =|a|. 二、分数指数幂 1. 当a>0，m，n∈N，且n≥2时，规定= ， = . 2. 0的正分数指数幂为0；0没有负分数指数幂. 三、有理指数幂与实数指数幂的运算法则 1. 实数指数幂：给定任意正数a，对任意实数u，au叫作a的u次幂. 其中，a叫作底数，u叫作指数. 2. 有理指数幂的运算法则，对实数指数幂仍然成立.   3. 幂运算基本不等式： 对任意的正数u和正数a，若a>1，则au>1；若a<1，则au<1. 对任意的负数u和正数a，若a>1，则au<1；若a<1，则au>1. 四、根式与指数幂的运算  1. 进行根式与指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序. 五、有关指数幂的条件求值  1. 解决条件求值问题的方法——整体代换法 将已知条件或所求代数式进行恰当的变形，从而通过“整体代换法”求出代数式的值. 常用的变形公式如下： (1)a±2 +b=( ±)2； (2)(+)( -)=a-b； (3) +=( +)(a-+b)； (4) -=( -)(a++b). 4. 1. 3　幂函数 一、幂函数 1. 一般来说，当x为自变量而α为非零实数时，函数y=xα叫作(α次)幂函数. 2. 函数y=xn(x∈R，n∈Z+)是正整数次幂函数. 3. y=x-n(x≠0，n∈Z+)是负整数次幂函数. 4. 正整数次幂函数和负整数次幂函数统称为整数次幂函数. 5. 当α是分数时，函数y=xα是分数次幂函数. 二、实数次幂函数的性质 1. 一般地，对于实数次幂函数y=xα(α≠0)： (1)当α>0时，它在[0，+∞)上有定义且递增，值域为[0，+∞)，函数图象过(0，0)和(1，1)两点； (2)当α<0时，它在(0，+∞)上有定义且递减，值域为(0，+∞)，函数图象过点(1，1)，向上与y轴正向无限接近，向右与x轴正向无限接近. 三、常见幂函数的图象与性质 y=x y=x2 y=x3 y= y=x-1 图象 定义域 R R R [0,+∞) (-∞,0)∪(0,+∞) 值域 R [0,+∞) R [0,+∞) (-∞,0)∪(0,+∞) 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在(-∞,+∞) 上单调递增 在(-∞,0]上单调递减， 在(0,+∞)上单调递增 在(-∞,+∞) 上单调递增 在[0,+∞) 上单调递增 在(-∞,0) 上单调递减， 在(0,+∞) 上单调递减 过点 (1,1)，(0,0) (1,1)，(0,0) (1,1)，(0,0) (1,1)，(0,0) (1,1) 四、幂值的大小比较  1. 比较幂的大小时，若指数相同，则利用幂函数的单调性比较大小；若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”. 五、运用幂函数的性质解决相关问题   幂函数的性质与参数α可以互相确定： 1. 幂函数y=xα中只有一个参数α，幂函数的所有性质都与α的取值有关，故可由α确定幂函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等. 2. 由幂函数的性质限制α的取值： (1)利用幂函数的单调性确定α的取值范围； (2)由奇偶性结合所给条件确定α的值. 4. 2　指数函数 一、指数函数 二、指数爆炸和指数衰减