第四章幂函数、指数函数和对数函数（期中知识清单）高一数学上学期湘教版

第4章 幂函数、指数函数和对数函数　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 有理数指数幂 1.1 次方根与根式 若一个实数 的 次方（，）等于 ，即 ，则称 是 的 次方根。 示例： ，所以 是 的 次方根；，所以 是 的 次方根。 当 是奇数时，数 的 次方根记作 。当 时，；当 时，；当 时，。 当 是偶数时，正数 的 次方根有两个，它们互为相反数。其中正的 次方根叫作算术根，记作 。 示例： 若 ，则 ，其中 是 的算术根。 再规定 ；负数没有偶次方根。 式子 叫作根式（，）， 叫作根指数， 叫作被开方数。 由根式的定义可得 当 为奇数时，；当 为偶数时，. 注意： 当 为偶数时， 等于 的绝对值 ，即 ，例如 ，切不可写成 。 1.2 分数指数幂 当 ，，，且 时，规定 这样，分数指数幂就把根式运算与幂运算统一了起来。 示例： ；. 再规定 的正分数指数幂为 ， 没有负分数指数幂。 整数指数幂的运算法则对有理数指数幂仍然成立（其中 ，，， 为有理数）： 运算法则 内容 同底数幂相乘 幂的乘方 积的乘方 1.3 无理数指数幂与实数指数幂 在实际问题中，变量 可以是无理数，正数的无理数指数幂可以用其有理数指数幂的不足近似值和过剩近似值来逼近确定。 在幂的表达式 中， 叫作底数， 叫作指数。这样，给定任意正数 ，对任意实数 ， 的 次幂 都有了定义。 可以证明，有理数指数幂的运算规律，对实数指数幂仍然成立。 2. 幂函数 2.1 幂函数的概念 当 为自变量而 为非零实数时，函数 叫作 次幂函数。 示例： ，， 是正整数次幂函数； 是负整数次幂函数； 是分数次幂函数。 正整数次幂函数的倒数 （ 为正整数）是负整数次幂函数；负整数次幂函数和正整数次幂函数统称为整数次幂函数。 2.2 幂函数的图象与性质 对于实数次幂函数 （）： （1）当 时，它在 上有定义且递增，值域为 ，函数图象过 和 两点； （2）当 时，它在 上有定义且递减，值域为 ，函数图象过点 ，向上与 轴正向无限接近，向右与 轴正向无限接近。 示例： 比较 与 ： 在 上递增，，故 . 3. 指数函数 3.1 指数函数的概念 如果让底数为常数而取指数为自变量 ，则得到一类新的函数 （ 且 ），这叫作指数函数。 示例： ，， 都是指数函数。 当底数 时，指数函数值随自变量的增长而增大，底数 较大时指数函数值增长速度惊人，被称为指数爆炸；当底数 时，指数函数值随自变量的增长而缩小以至无限接近于 ，叫作指数衰减。 3.2 指数函数的图象与性质 指数函数 （ 且 ）的图象与性质如下表： 项目 图象 过 上升 过 下降 定义域 值域 过定点 ，即 ，即 单调性 在 上递增 在 上递减 指数函数的图象总在 轴上方，且图象与 轴永不相交；底数互为倒数的两个指数函数的图象关于 轴对称。 示例： 比较 与 ：底数 ， 在 上递增，，故 . 4. 对数与对数运算 4.1 对数的概念 如果 （ 且 ），那么 叫作以 为底 的对数，记作 。这里， 叫作对数的底数， 叫作对数的真数。 示例： 由 得 ；由 得 . 4.2 对数的基本恒等式 把 代入 ，得 把 代入 ，得 由此可知：底的对数为 ，即 ； 的对数为 ，即 . 4.3 对数的运算法则 对数的运算法则（其中 且 ，，，）： 运算法则 内容 积的对数 商的对数 幂的对数 示例： . 4.4 换底公式 用对数的基本恒等式可得 这个公式叫作对数的换底公式。最常用的对数换底公式是 其中 是常用对数， 是自然对数。 示例： . 5. 对数函数 5.1 对数函数的概念 由于指数函数是严格单调的，等式 中不同的 对应于不同的 ，从而对数运算 （ 且 ）确定了一个函数，叫作以 为底的对数函数。指数函数 和对数函数 互为反函数，两者的图象关于直线 对称。 5.2 对数函数的图象与性质 对数函数 （ 且 ）的图象与性质如下表： 项目 定义域 值域 过定点 ，即 ，即 单调性 在 上递增 在 上递减 示例： 比较 与 ：底数 ， 在 上递增，，故 . 6. 函数的零点与二分法 6.1 方程的根与函数的零点 求方程 的实数根，就是确定函数 的零点；方程的根就是函数图象与 轴交点的横坐标。 设函数 的图象是一条连续不断的曲线，如果在区间 的左端 处，曲线在 轴上方，而在 处，曲线在 轴下方，则可以断定，曲线一定会和 轴在 内的某点处相交。一般地，当 从 到 逐渐增加时，如果 连续变化且有 ，则存在点 ，使得 。如果知道 在区间 上单调递增或单调递减，就进一步断定方程 在 内恰有一个根。 示例： 函数 在 内：，，故在 内至少有一个零点。 6.2 二分法 对于图象连续不断且 的函数 ，通过不断地把零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫作二分法。 用二分法求函数 零点近似值的一般操作方法： 1. 取一个闭区间 ，使 与 异号，即 ； 1. 取区间 的中点 ； 1. 若 ，则 就是零点；若 ，则令 ，否则令 ，再返回步骤 2，直到达到要求的精确度为止。 7. 函数模型的建立与增长快慢的比较 7.1 几种函数增长快慢的比较 当底数 时，指数函数 和对数函数 都是增函数，一次函数、幂函数在相应区间上也为增函数，但它们增长的快慢不同：总体来说，指数增长最快，对数增长最慢，幂函数的增长快慢与幂指数的大小密切相关。 示例： 当自变量足够大时， 的增长快于 ， 的增长又快于 . 7.2 数学建模 把现实世界中的实际问题加以提炼，抽象为数学模型，求出模型的解，验证模型的合理性，并用该数学模型所提供的解来解释现实问题，数学知识的这一应用过程称为数学建模。数学建模的步骤通常是：正确理解并简化实际问题；建立数学模型；求得数学问题的解；将求解的结果与实际情形进行比较，验证模型的准确性、合理性和适用性。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 对数基本性质 由对数定义直接可得 ，，，（ 且 ）。 1.2 换底公式推论 换底公式 的常用变式：，即 （底数 、真数 均为不等于 的正数）；（ 且 ，，）。 1.3 指数幂运算常用变形 对于正数 ， 与 之间满足 ，知其一可求另一个。由 求 时，用 转化。 1.4 幂函数图象在第一象限的特征 幂函数 的图象在第一象限内：当 时递增且过原点， 越大图象越陡（在 时）；当 时递减，以两坐标轴为渐近线；所有幂函数在第一象限的图象都过点 。 1.5 图象平移与定点 指数函数 （ 且 ）的图象恒过定点 ；对数函数 的图象恒过定点 。利用定点可快速求参数。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 指数、对数式化简求值 先统一底数或统一幂的形式，再套运算法则。含根式时化为分数指数幂，含多个对数时先化简各对数再合并。如计算 ：用换底公式得 。 2.2 比较两个数的大小 先判断能否直接利用同一函数的单调性；不能时用中间量（常取 、）或作差、作商。如比较 、、：，，。 2.3 求定义域 指数函数定义域为 ；对数型函数 需 ；含根式还需被开方数非负。解不等式（组）求交集。 2.4 求值域（含复合函数） 指数型 用 的范围结合指数函数单调性求；对数型 先求 的范围再套对数函数。对 型，令 换元为二次函数求值域。 2.5 复合函数的单调性 对 ，先求定义域，再按“同增异减”： 时与 单调性相同， 时与 单调性相反；最后取定义域内的区间。如 的递增区间即 时的递减区间。 3. 运算小技巧 技巧 要点 示例 常用对数值 记住 ，， 由 的位数：，故是 位数 换底倒数 ，底真互换即倒数 根式幂互化 根式化分数指数幂统一运算 整体换元 令 或 降次 求 值域令 4. 常见考试模型 4.1 指数增长（衰减）模型 公式： ，其中 为初始量， 为增长率（衰减率）， 为期数；如“平均增长率”问题即 。 限定： 增长率 ，衰减率 ，期数 为正整数。 示例： 某林区蓄积量每年增长 ， 年后变为原来的 倍。 4.2 对数应用模型 公式： 里氏震级 ；溶液酸碱度 ；分贝 ，其中 、 为测得的量，、 为基准量。 限定： 真数必须为正，即 ， 等。 示例： 里氏 级地震的最大振幅是 级的 倍（）。 4.3 函数拟合（建模）模型 公式： 由散点选择一次函数、二次函数、幂函数、指数函数等拟合数据，比较误差与实际意义确定最优模型。 限定： 拟合结果要回到实际问题检验其合理性（如产量不能持续下降）。 示例： 某无人机前 个月产量用一次、二次、幂、指数函数分别模拟，取误差最小且符合增产趋势的指数函数。 【使用提醒】 以上模型结论均以自变量足够大、数据符合相应增长特征为前提，具体问题需结合定义域与实际情况检验。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：化简偶次根式时忽略根指数的奇偶性 典例： 化简 . 错解： （认为开方与乘方直接相互抵消）. 正解： ，即 。一般地，当 为偶数时，；当 为奇数时，. 原因： 把 与 混淆，忘记当根指数 为偶数时，偶次方根的结果必须非负，应取绝对值。纠正要点：化简前先判断根指数 的奇偶性，偶次根式开偶次方务必加绝对值。 易错点 2：分数指数幂运算忽视底数大于 0 的前提 典例： 把 写成分数指数幂，并判断 是否等于 . 错解： ，且 . 正解： （奇次方根对负数有意义）；但分数指数幂 只在 时才有定义， 的底数为负，不能随意约分指数化为 。 原因： 忽视”分数指数幂要求底数为正”这一隐含条件，把负数的奇次方根与分数指数幂混为一谈。纠正要点：遇到底数为负或指数为分数的情况，先化成根式或先变号使底数为正，再进行运算。 易错点 3：对数运算法则应用时忽略真数大于 0 典例： 解方程 . 错解： ，，解得 . 正解： 真数须大于 ，即 且 ，得 ；再由 得 ，舍去 ，故 . 原因： 运用 时忘记其前提 、，解出根后未回代检验真数条件。纠正要点：解对数方程、不等式求出结果后，必须检验真数大于 且底数大于 且不等于 。 易错点 4：求对数型函数定义域时把真数大于 0 写成大于等于 0 典例： 求函数 的定义域. 错解： 由 ，得 或 . 正解： 真数须大于 ，即 ，解得 或 ，故定义域为 . 原因： 把对数真数”大于 “误记为”大于等于 “，或与二次根式被开方数”非负”混淆。纠正要点：对数真数必须严格大于 ，只有根式被开方数才取大于等于 。 易错点 5：换底公式分子与分母位置颠倒 典例： 用常用对数表示 . 错解： . 正解： ，即 （真数的对数在分子，底数的对数在分母）. 原因： 换底公式 的上下位置记忆颠倒。纠正要点：牢记”上真下底”，并可用数值快速自检——因 而 ，颠倒后结果明显矛盾。 易错点 6：比较大小忽略底数范围导致单调性方向弄反 典例： 比较 与 的大小. 错解： 由 ，得 . 正解： 底数 ， 在 上递减，由 得 . 原因： 默认对数函数（指数函数）总是递增，忽视底数在 时单调性相反。纠正要点：比较大小前先看底数范围—— 时增、 时减，再套单调性判断方向。 学科网（北京）股份有限公司 $