第3章函数的概念与性质知识点清单-2022-2023学年高一上学期数学湘教版（2019）必修第一册

新教材 湘教版2019版 数学必修第一册 第3章 知识点清单 目录 第3章　函数的概念与性质 3. 1　函数 3. 2　函数的基本性质 3. 2. 1　函数的单调性与最值 3. 2. 2　函数的奇偶性 2 / 2 3. 1　函数 一、函数的概念 1. 函数的有关概念 定义 一般地，设A，B是两个非空的实数集，如果按照某种确定的对应关系f，对于集合A中的任何一个数x，在集合B中都有唯一的数y和它对应，那么称这样的对应f：A→B为定义于A取值于B的函数 记法 y=f(x)(x∈A，y∈B) 定义域 x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域 值域 与x∈A对应的数y叫作函数值，记作f(x)，所有函数值组成的集合{f(x)|x∈A}叫作函数的值域. 值域是集合B的子集 2. 两个函数相等 两个函数f(x)和g(x)，当且仅当有相同的定义域U且对每个x∈U都有f(x)=g(x)时，叫作相等. 也就是说，即使两个函数的对应关系形式上相同，但定义域不同，那么它们不是同一个函数. 二、表示函数的方法 方法 优点 缺点 解析法 简明、全面概括了变量间的关系；利用解析式可求任一函数值 不够形象、直观，而且并不是所有函数都有解析式 列表法 不需计算，可以直接看出与自变量对应的函数值 不够全面，也很难看出函数的数学性质 图象法 能形象、直观地表示函数值的变化情况 只能近似求出自变量所对应的函数值，而且有时误差较大 三、简单的分段函数 　　一般地，如果自变量在定义域的不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数叫作分段函数. 四、已知函数解析式求定义域   (1)如果函数的解析式是整式，那么在没有特殊说明的情况下，函数的定义域是实数集R. (2)如果函数解析式中含分式或0次幂，那么函数的定义域应使分母或0次幂的底数不为零. (3)如果函数解析式中含偶次根式，那么函数的定义域应使偶次根式有意义. (4)如果函数解析式是由几部分式子混合运算后构成，那么函数的定义域应使各部分式子都有意义，定义域为各部分自变量取值集合的交集. (5)由实际背景确定的函数，其自变量的值不仅要使解析式本身有意义，还要考虑自变量的实际意义. 五、求抽象函数的定义域   1. 求抽象函数的定义域应明确的几点 (1)函数f(x)的定义域是指x的取值范围. (2)函数f(φ(x))的定义域是指x的取值范围，而不是φ(x)的取值范围. (3)f(t)，f(φ(x))，f(h(x))三个函数中的t，φ(x)，h(x)在相同的对应关系f下的取值范围相 同. 2. 抽象函数定义域的求解方法 (1)已知f(x)的定义域为A，求f(φ(x))的定义域，实质是已知φ(x)的取值范围为A，求x的取值范围. (2)已知f(φ(x))的定义域为B，求f(x)的定义域，实质是已知x的取值范围为B，求φ(x)的取值范围，此范围就是f(x)的定义域. (3)已知f(φ(x))的定义域为C，求f(g(x))的定义域，实质是已知φ(x)中的x的取值范围 为C，求出φ(x)的取值范围D，再令g(x)的取值范围为D，求出g(x)中x的取值范围，此范围就是f(g(x))的定义域. 六、函数的求值问题   1. 求自变量的值为a时的函数值的方法 (1)已知函数f(x)的解析式时，只需用常数a替换解析式中的x并进行计算，即得f(a) 的值. (2)已知函数f(x)与g(x)的解析式，求f(g(a))的值，应遵循由内到外的原则. 注意：用来替换解析式中x的常数a必须是函数定义域内的值，否则求值无意义. 2. 已知函数值a，求自变量的对应值的方法 (1)已知函数f(x)的解析式时，列方程f(x)=a并求解，即可得到函数值为a时自变量的 对应值. (2)已知函数f(x)与g(x)，求f(g(x))=a中的x的值时，可以由内到外，也可由外到内进行求解. 七、函数解析式的求法   1. 当函数类型已知时，可采用“先设后求，待定系数”法来求其解析式. 解题步骤如下： (1)设出含有待定系数的解析式. 如一次函数解析式设为f(x)=ax+b(a≠0)；反比例函 数解析式设为f(x)= (k≠0)；二次函数解析式可根据条件设为 ①一般式：f(x)=ax2+bx+c(a≠0)， ②顶点式：f(x)=a(x-h)2+k(a≠0)， ③交点式：f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0). (2)根据已知条件列出关于待定系数的方程或方程组. (3)解方程或方程组，得到待定系数的值. (4)将所求待定系数的值代入所设的解析式并化简整理. 2. 函数类型未知时，可根据条件选择以下方法求其解析式. (1)代入法：已知f(x)的解析式，求f(g(x))的