专题6.2 平面向量的基本定理及坐标表示（讲+练）-备战2024年高考数学大一轮复习核心考点精讲精练（新高考专用）

专题6.2 平面向量的基本定理及坐标表示 【核心素养】 1.以几何图形为载体，与向量线性运算相结合，考查平面向量基本定理及其应用，凸显直观想象、数学运算、数学建模的核心素养． 2．考查平面向量的加减法、数乘、数量积等坐标运算，凸显数学抽象、数学运算的核心素养． 3．以几何图形为载体，考查向量共线、向量的夹角、向量的模等，凸显直观想象、数学运算的核心素养． 知识点一 平面向量基本定理 平面向量基本定理 如果是一平面内的两个不共线向量，那么对于这个平面内任意向量，有且只有一对实数，使.其中，不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 知识点二 平面向量的坐标运算 1. 平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解． 2．平面向量的坐标表示 (1)在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底，对于平面内的一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得，这样，平面内的任一向量都可由x、y唯一确定，因此把叫做向量的坐标，记作，其中x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标． (2)若，则． 3．平面向量的坐标运算 (1)若，则； (2)若，则． (3)设，则，. 知识点三 平面向量共线的坐标表示 向量共线的充要条件的坐标表示 若，则⇔. 知识点四 数量积的坐标运算 设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则： 1．a·b＝a1b1＋a2b2. 2．a⊥ba1b1＋a2b2＝0. 3．|a|＝. 4．cosθ＝＝.(θ为a与b的夹角) 常考题型剖析 题型一：平面向量基本定理及其应用 【典例分析】 例1-1.（2023·河北沧州·校考模拟预测）在中，点为与的交点，，则（    ） A．0 B． C． D． 例1-2.（2022秋·海南·高三校联考期末）已知长方形中，，是线段的中点，是线段上靠近的三等分点，线段，交于点，则（    ） A． B． C． D． 【规律方法】 1.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，再用该基底表示向量，其实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算和数乘运算． 2.特别注意基底的不唯一性： 只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量都可被这个平面的一组基底线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的． 【易错提醒】 平面向量基本定理的实质及解题思路 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算． (2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决． 【变式训练】 变式1-1.（2017·全国高考真题（理））在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若= + ，则+的最大值为（ ） A．3 B．2 C． D．2 变式1-2.（2022·四川绵阳·盐亭中学校考模拟预测）如图，等腰梯形中，，点为线段中点，点为线段的中点，则（    ）      A． B． C． D． 题型二：平面向量的坐标运算 例2-1.（2022秋·新疆喀什·高三新疆维吾尔自治区喀什第六中学校考期中）已知向量，那么（ ） A． B． C． D． 例2-2.（2023·全国·高三对口高考）已知向量．若实数k与向量满足，则可以是（    ） A． B． C． D． 【规律方法】 平面向量坐标运算的技巧 (1)向量的坐标运算主要是利用向量的加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系，一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标． (2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解． 【变式训练】 变式2-1.（2023·广西·校联考模拟预测）已知和是两个正交单位向量，，且，则（    ） A．2或3 B．2或4 C．3或5 D．3或4 变式2-2.（辽宁高考真题）在平面直角坐标系中，四边形的边，，已知点，，则D点的坐标为___________. 题型三：平面向量共线的坐标表示 【典例分析】 例3-1．（2023·新疆喀什·校考模拟预测）已知，，若，，则x+y=（    ） A．1 B．2 C．-1或1 D．-2或2 例3-2.（2023·全国·高三对口高考）已知向量． (1)若，求实数k； (2)向量满足，且，求． 【规律方法】 平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略 (1)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然