21.2.4 一元二次方程根与系数的关系-【数学优课PPT】2023-2024学年九年级上册数学同步PPT课件

数学（人教版） 一元二次方程 第二十一章 21.2.4 解一元二次方程 —— 一元二次方程根与系数的关系 九年级 上册 课前导入 掌握一元二次方程根与系数的关系。 01 利用一元二次方程根与系数的关系进行简单计算。 02 重点 掌握一元二次方程根与系数的关系。 难点 利用一元二次方程根与系数的关系进行简单计算。 学习目标 目录 01 01 探索一元二次方程根与系数的关系 02 课堂练习 04 课堂练习 05 课堂总结 03 02 利用一元二次方程根与系数的关系计算技巧 01 01 探索一元二次方程根与系数的关系 01 探索一元二次方程根与系数的关系 (1)=0 (2)2−2 =0 (3)2 2+3 -2=0 解下列方程并完成填空： 方程 两根 两根和 x1+x2 两根积 x1x2 x1 x2 (x-3)(x-4)=0 x2−2x=0 2x2+3x-2=0 3 4 12 7 0 2 2 0 -2 -1 观察方程的系数与两根的和与积有什么联系？ 把猜想的结果在小组内交流。 x1+x2 x1x2 = 01 探索一元二次方程根与系数的关系 对于方程ax2+bx+c=0(a≠0) ，当时，该方程的根与它的系数之间有什么关系呢？（配方法证明） 当时，设ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1、x2 ax2+bx+c 而 ax2+bx+c =   则 根据两个多项式相等的规定，得 即： x1+x2 x1x2 = 01 探索一元二次方程根与系数的关系 对于方程ax2+bx+c=0(a≠0) ，当时，该方程的根与它的系数之间有什么关系呢？（公式法证明） x1+x2= + = x1x2 = × = = 即： x1+x2 x1x2 = 当时，两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数项与二次项系数的比. 人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理” 02 课堂练习 课堂练习（考查一元二次方程根与系数的关系） 解：x1+x2 x1x2 = = 解：x1+x2 x1x2 = = 注意：先移项 解：x1+x2 x1x2 = = 注意：先移项 注意：（1）必须先求证Δ≥0才可以使用韦达定理 （2）先把方程化为一般式，才能使用韦达定理 课堂练习（考查一元二次方程根与系数的关系） 变式1-1 小明说：“一元二次方程x2+x+2=0中，两根之和为-1，两根之积为2。” 你觉得他说的对吗？ 不存在，一元二次方程x2+x+2=0中b2-4ac<0，方程无实数根。 课堂练习（已知一元二次方程一个根求另一个根） 若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有一个解为x=﹣1，则另一个解为（　　） A．1 B．﹣3 C．3 D．4 【详解】 设方程的另一个解为x1， 根据题意得：﹣1+x1=2， 解得：x1=3， 故选C． 典例2 课堂练习（已知一元二次方程一个根求另一个根） 变式2-1 已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 ,求它的另一个根及k的值。 解： 设方程的另一个根为x1. 把x=2代入方程，得 4-2(k+1)+3k=0 解这方程，得 k= - 2 由根与系数关系，得x1 ×2=3k=-6 ∴ x1 ＝-3 答：方程的另一个根是-3 , k的值是-2。 03 02 利用一元二次方程根与系数的关系计算技巧 02 利用一元二次方程根与系数的关系计算技巧 已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根x1,x2 1）平方和 2）倒数和 + = 3）差的绝对值 | x1 - x2 |= = 04 课堂练习 课堂练习（利用根与系数的关系进行计算） 设x1、x2为方程x2-4x+1=0的两个根，则: （1）x1+x2= , （2) x1·x2= , （3） , （4） ， （5） + =_________， 4 1 14 6 4 典例3 课堂练习（利用根与系数的关系进行计算） 变式3-1 已知方程的两个实数根x1，x2，且,求k的值。 解：由根与系数的关系得x1+x2=-k,x1.x2=k+2，而x12+ x22 = 4 即(x1+ x2)2 -2x1x2=4 ∴k2- 2(k+2）=4 解得：k=4或k=－2 ∵ △= k2-4k-8 当k=4时， △＜0 当k=-2时，△＞0 ∴ k=-2 课堂练习（利用根与系数的关系进行计算） 变式3-