13.4 课题学习：最短路径问题-【数学优课PPT】2023-2024学年八年级上册数学同步PPT课件

初中数学/ 人教版 / 八年级上册 课题学习： 最短路径问题 学习目标 1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题.（难点） 2．体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．（重点） 目录 CONTENTS 01 复习回顾 02 知识精讲 03 典例解析 04 知识精讲 05 典例解析 06 达标检测 07 小结梳理 复习回顾 01 复习回顾 1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？ A B ① ② ③ ②最短，因为两点之间，线段最短 2.如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？ P l A B C D PC最短，因为垂线段最短 知识精讲 02 知识精讲 “两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各 点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称之为最短路径问题. 现实生活中经常涉及到选择最短路径问题，本节将利用数学知识 探究数学史的著名的“牧马人饮马问题”及“造桥选址问题”. 知识精讲 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫 海伦. 有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题： 如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边 l 饮马，然后到B 地. 牧马人到河边什么地方饮马，可使所走的路径最短？ 问题1： 抽象成 C A B l 数学问题 作图问题：在直线l上求作一点C,使AC+BC最短问题. 知识精讲 现在假设点A,B分别是直线l 异侧的两个点，如何在l上找到一个点,使得这个点到点A，点B的距离的和最短？ 探究 根据是“两点之间，线段最短”，可知这个交点即为所求. 连接AB,与直线l相交于一点C. A l B C 知识精讲 点A，B分别是直线 l 同侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离的和最短？ 探究 A B l B′ C 1.通过怎样的操作可以把同侧 两点转化为异侧两点来解决呢？ 2.CB 与CB′的长度相等吗？ 知识精讲 你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？ C′ 证明：如图，在直线 l 上任取一点C′ (与点C不重合)，连接AC′，BC′，B′C′. 由轴对称的性质知，BC=B′C，BC′=B′C′. ∴ AC+BC=AC+B′C=AB′ AC′+BC′=AC′+B′C′ 在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′ ∴ AC+BC＜AC′+BC′ 即AC+BC最短. 典例解析 03 典例解析 如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的 中点， AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为（　　） 例1. 解析：△ABC为等边三角形，点D是BC边的中点， 即点B与点C关于直线AD对称.∵点F在AD上，故BF=CF.即BF+EF的最小值可转化为求CF+EF的最小值，故连接CE即可，线段CE的长即为BF+EF的最小值. A．7.5 B．5 C．4 D．不能确定 【点睛】 此类求线段和的最小值问题，找准对称点是关键，而后将求线段 该长的和转化为求某一线段的长，而再根据已知条件求解. B 典例解析 如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1,4）和（3,0）， 点C是y轴上的一个动点,且A，B，C三点不在同一条直线上,当△ABC线上， 当△ABC的周长最小时点C的坐标是（　　） 例2. A A．（0，3） B．（0，2） C．（0，1） D．（0，0） 解析：作B点关于y轴对称点B′，连接AB′，交y轴于点C′，此时△ABC的周长最小，然后依据点A与点B′的坐标可得到BE、AE的长，然后证明△B′C′O为等腰直角三角形即可． B′ C′ E 【点睛】 求三角形周长的最小值，先确定动点所在的直线和固定点，而 后作某一固定点关于动点所在直线的对称点，而后将其与另一固定点连线，连线与动点所在直线的交点即为三角形周长最小时动点的位置. 知识精讲 04 知识精讲 (造桥选址问题)如图，A和B两地在一条河的两岸，现要河上 造一座桥MN. 桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？(假定河的两岸是 平行的直线，桥要与河垂直.) 问题2： 知识精讲 我们可以把河的两岸看成两条平行线a和b，N为直线b上的一个动点，MN垂直于直线b，交直线a于点M，这样，上面的问题可以转化为下面的问题：当点N在直线b的什么位置时，AM+MN+NB最小？ 知识精讲 由于河岸宽度是固定的，因此当AM+NB最小时，AM+MN+NB最小. 这 样问题就进一步转化为：当点N在直线b的什么位置