13.3.4 含30°角的直角三角形的性质-【数学优课PPT】2023-2024学年八年级上册数学同步PPT课件

初中数学/ 人教版 / 八年级上册 含30°角的直角三角形的性质 学习目标 1.探索含30°角的直角三角形的性质． （重点） 2．会运用含30°角的直角三角形的性质进行有关的证明和计算．（难点） 目录 CONTENTS 01 知识精讲 02 典例解析 03 针对练习 04 典例解析 05 针对练习 06 典例解析 07 知识精讲 08 针对练习 09 典例解析 10 达标检测 11 小结梳理 知识精讲 01 知识精讲 用两个含30°角的三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？能拼成一个等边三角形吗？说说你的理由. 探究 知识精讲 △ADC是△ABC的轴对称图形， 因此AB=AD∠BAD=2×30°=60°，从而△ABD是一个等边三角形. 再由AC⊥BD，可得BC=CD=1/2AB. 猜想： 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 由此你能想到，在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？能证明你的结论吗？ 知识精讲 猜想： 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°. 求证：BC=AB. 证法①倍长法 证明：延长BC到D，使BD=AB，连接AD. ∵ ∠ACB=90°，∠BAC=30° ∴ ∠B=60° ∴ △ABD是等边三角形 ∵ AC⊥BD ∴ BC=BD ∴ BC=AB 知识精讲 猜想： 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°. 求证：BC=AB. 证法②截半法 证明：在BA上截取BD=BC，连接DC. ∵ ∠B=90°-∠A=60°，BD=BC ∴ △BCD是等边三角形 ∴ ∠BDC=60°，BD=DC=BC ∴ ∠DCA=∠BDC-∠A=30°=∠A ∴ AD=DC=BD=BC ∴ AB=AD+BD=2BC ∴ BC=AB 知识精讲 含30°角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 典例解析 02 典例解析 如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=7.4m，∠A=30°. 立柱BC、DE要多长. 例1. ∴ BC=AB，DE=AD ∴ BC=×7.4=3.7(m) 又∵ AD=AB ∴ DE=AD=×3.7=1.85(m) 答：立柱BC的长是3.7m，DE的长是1.85m. 解：∵ DE⊥AC，BC⊥AC，∠A=30° 针对练习 03 针对练习 如图1所示的是某超市人口的双翼闸门，当它的双翼展开时，如图2，双翼边缘的端点A与B之间的距离为12cm，双翼的边缘AC＝BD＝62cm，且与闸机侧立面夹角∠ACP＝∠BDQ＝30°．求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度． 解：如图，过点A作AE⊥CP于点E，过点B作BF⊥DQ于点F， 在Rt△ACE中，∠ACE＝30°， ∴AE＝AC＝×62＝31（cm）， 同理可得，BF＝31cm， 又∵双翼边缘的端点A与B之间的距离为12cm， ∴31+12+31＝74（cm）， ∴当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为74cm． 典例解析 04 典例解析 如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F．求证:BF=2CF. 例2. 证明:连接AF. ∵EF是AC的垂直平分线 ∴AF=CF ∴∠C=∠FAC ∵AB=AC，∠BAC=120° ∴∠B=∠C=∠FAC=30° ∴BF=2AF ∴BF=2CF ∴∠BAF=120°-30°=90° 针对练习 05 针对练习 如图，点D在线段BC上，连接AD，BD=CD，CA⊥AD，∠1=30°，AB=4，求AC的长． 解：过B作BM⊥AD，交AD的延长线于点M，如图， ∵BM⊥AD，CA⊥AD， ∴∠DAC=∠DMB=90°， ∵BD=DC，∠BDM=∠CDA， ∴△BDM≌△CDA， ∴AC=BM， ∵在Rt△ABM中，∠1=30°，AB=4， ∴BM=AB=2， ∴AC=2， 典例解析 06 典例解析 例3. 如图，等边△ABC的边长为8，D为AB边上一动点，过点D作 DE⊥BC于点E，过点E作EF⊥AC于点F.(1)若AD=2，求AF的长;(2)当 AD取何值时，DE=EF? 解:(1)△ABC为等边三角形 ∴AB=AC=BC=8，∠B=∠C=60° ∵AD=2 ∴BD=AB-AD=6