12.3.1 角的平分线的性质-【数学优课PPT】2023-2024学年八年级上册数学同步PPT课件

初中数学/ 人教版 / 八年级上册 角的平分线的性质 学习目标 1.通过操作、验证等方式，探究并掌握角平分线的性质定理.（难点） 2.能运用角的平分线性质解决简单的几何问题. （重点） 目录 CONTENTS 01 复习回顾 02 知识精讲 03 典例解析 04 针对练习 05 典例解析 06 针对练习 07 典例解析 08 达标检测 09 小结梳理 复习回顾 01 复习回顾 1.角平分线的概念 从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线. 2.通过折纸的方法做一个角的平分线 ∵ ∠1=∠2 ∴ BD是∠ABC的平分线 知识精讲 02 知识精讲 思考 下边是利用角平分仪平分一个角的演示过程.你能说明它的道理吗？ 其中AB=AD，BC=DC. 则：AE为∠α的角平分线. 你能用学过的知识说明为什么吗？ 证明：在△ABC与△ADC中， AB=A′B′， BC=B′C′， CA=C′A′， ∴△ABC≌△ADC (SSS) ∴∠BAC=∠DAC 即 AE是∠α的角平分线 知识精讲 已知：∠AOB. 求作：∠AOB的平分线. 尺规作图---作角的平分线 1.以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N. 作法： 3.画射线OC. 则：射线OC即为所求. 2.分别以M，N为圆心，大于1/2MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部相交于点C. 知识精讲 已知：∠AOB. 求作：∠AOB的平分线. 尺规作图---作角的平分线 证明：在△OMC与△ONC中， AB=A′B′， BC=B′C′， CA=C′A′， 你说明OC为什么是∠AOB的平分线? ∴∠AOC=∠BOC ∴△OMC≌△ONC (SSS) 即OC是∠AOB的角平分线 知识精讲 在∠AOB的平分线OC上任取一点P,过点P画出OA，OB的 垂线，分别记垂足为D,E，测量PD，PE并作比较，你得到什么结论? 探究 分别记垂足为D,E，测量PD， PE并作比较，你得到什么结论? 数量关系：PD=PE 知识精讲 在∠AOB的平分线OC上任取一点P,过点P画出OA，OB的垂线，分别记垂足为D,E，测量PD，PE并作比较，你得到什么结论? 探究 在OC上再取几个点试一试.通过以上测量，你发现了角的平分线的什么性质? 数量关系：PD=PE 【猜想】角平分线上的点到角的两边的距离相等. 你能利用三角形全等证明这个性质吗？ 知识精讲 已知:______________________________ 求证:______________________________ 这个点到这个角两边的距离相等 一个点在一个角的平分线上 如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E. 求证PD=PE. 转化成具体问题 角平分线上的点到角的两边的距离相等. 知识精讲 如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E. 求证PD=PE. ∠PDO=∠PEO ∠AOC=∠BOC OP=OP 证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB ∴∠PDO=∠PEO=90° 在△PDO和△PEO中， ∴△PDO≌△PEO (AAS) ∴PD=PE 知识精讲 ※角平分线的性质 文字语言: 角平分线上的点到角的两边的距离相等. 几何语言： ∵点P在∠AOB的平分线上， 且PD⊥OA，PE⊥OB. ∴PD=PE 知识精讲 归纳 一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即 1.明确命题中的已知和求证； 2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； 3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出 证明过程. 典例解析 03 典例解析 如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且D是BC的中点,DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F．求证:BE=CF. 例1. BD=CD DE=DF 证明:∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE=DF， ∵ D是BC的中点， ∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL)， ∴BE=CF. ∴BD=CD， 在Rt△BDE和Rt△CDF中， 针对练习 04 针对练习 如图，D是∠ACG的平分线上的一点．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分别为E，F.求证：CE＝CF. 证明：∵CD是∠ACG的平分线，DE⊥AC，DF⊥CG， ∴DE＝DF. 在Rt△CDE和Rt△CDF中， C