第23讲：相关系数讲义-2023届高三艺考数学一轮复习

第23讲：相关系数 【课型】复习课 【教学目标】1.了解相关系数的概念及范围 2.会用相关系数公式解决一些简单问题 【预习清单】 【基础知识梳理】 x-0,- 1相关系数：r= 2-20-列 2相关系数r范围：r∈[-1,1] 3当>0时，表明两个变量正相关；当0时，表明两个变量负相关.r的绝对值越接近于1， 表明两个变量的线性相关性越强，？的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线 性相关关系。 4通常1大于075时，认为两个变量有很强的线性相关性. 【引导清单】 考向一：相关系数及其应用 例1：某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加. 为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地 块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(：，=1， 2,…,20),其中和分别表示第1个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这 种野生动物的数量，并计算得∑20=心=60，∑20，=y=1200,∑20=1(：一)2 =80,∑20，=10y1-)2=9000,∑20=1(6x-)-)=800. (1)求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这 种野生动物数量的平均数乘以地块数)： (2)求样本(，)i=1,2,…,20)的相关系数（精确到0.01）： (3)根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性 以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样 方法，并说明理由. -x0y- 附：相关系数公式：r V2≈1.414 【解】(1)由已知得样本平均数=120∑20，=y=60,从而该地区这种野生动物数 量的估计值为60×200=12000. 2-x0- (2)样本(，i=1,2,…,20)的相关系数r 800 2-20y-列 80×9000)=2)3≈0.94.(3)分层抽样：根据植物覆盖面积的大小对地块分层，再 对200个地块进行分层抽样. 【训练清单】 【变式训练】随着网络的发展，网上购物越来越受到人们的喜爱，各大购物网站为增加收 入，促销策略越来越多样化，促销费用也不断增加，下表是某购物网站2017年1~8月促销 费用x(万元)和产品销量（万件）的具体数据 月份 2 4 5 6 > f 促销费用x 6 0 分 21 15 伊 产品销量y 1 2 3.5 4.5 ()根据数据绘制的散点图能够看出可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数7 加以说明；（系数精确到0.001） (2)建立y关于x的回归方程=x十（系数精确到0.01），如果该公司计划在9月份实现 产品销量超6万件，预测至少需投入促销费用多少万元.（结果精确到0.01） 参考数据： (x-11)(y-3)=74.5, (x-11)2=340, N 0:-32=16.5,340 1 =1 ≈18.44,165≈4.06，其中x,片分别为第i个月的促销费用和产品销量，=1,2,3，…， 8. 参考公式：（①样本，y)1=1,2,…,n)的相关系数r=∑=1》口道-加0i-0①-功 口过-xox"i=l功口i-eto加2 ()对于一组数据1，)，(2,2)，，c,),其回归方程=x十的斜率和截距的 最小二乘估计分别为==一)一一)，=一-一 【解】(1)由题可知=11，=3，将数据代入r=∑4功过-to0t一tg0①》0- x"=1w口1-x加2，得~74.518.44X4.06=74.574.8664≈0.995.因为y与x的相关系数近 似为0.995，说明y与x的线性相关性很强，从而可以用线性回归模型拟合y与x的关系，（需 要突出“很强”，“一般”或“较弱”不给分)2)将数据代入=∑”=》一)一)∑”=》一)得 =74.5340≈0.219，则=- ≈3-0.219×11≈0.59.因为0.219≈0.22，所以y关于x 的回归方程为=0.22x十0.59.由=0.22x+0.59>6,解得x>24.59,即至少需要投入促销 费用24.59万元. 【巩固清单】 1.某商品的销售量y(件)与销售价格x(元/件)存在线性相关关系，根据一组样本数据(x,) G=1,2,…,m),用最小二乘法建立的回归方程为=一5x+150,则下列结论正确的是() A.y与x具有正的线性相关关系 B.若r表示y与x之间的线性相关系数，则r=一5 C.当销售价格为10元时，销售量为100件 D.当销售价格为10元时，销售量为100件左右 【解析】选D.由回归直线方程知，y与x具有负的线性相关关系，A错，若r表示y与x之 间的线性相关系数，则1≤1，B错.当销售价格为10元时，=一5×10十150=100，即 销售量为100件左右，C错 2.设两个变量x和