第18讲：频率分布直方图估计数字特征讲义-2023届高三艺考数学一轮复习

第18讲：用频率分布直方图估计数字特征 【课型】复习课 【教学耳标】1.掌握频率分布直方图估计数字特征 2.会用频率分布直方图解决一些简单问题 【预习清单】 【基础知识梳理】 1.频率分布直方图中数字特征的计算 ①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数： ②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的： ③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的 面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和 ④方差：各组区间中值与其平均数的差的平方乘以各组频率的和。 【引导清单】 考向二：利用频率分布直方图估计数字特征 例1：对参加某次数学竞赛的1000名选手的初赛成绩（满分：100分）作统计， 得到如图所示的频率分布直方图。 (1)根据直方图完成以下表格； 0.035 △x: 成绩 [50, [60, [70, [80, [90, 60) 70) 80) 90) 100] 频数 0.015 0.010 (2)求参赛选手初赛成绩的众数、中位数、平均数及方差 0.005 (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)： 05060708090100成绩/分 【解】(1)填表如下： (2)由频率分布直方 [50, 成绩 [60,70) [70,80 [80,90) [90,100) 图可知初赛成绩的众 60) 数为80分：记各组的 频数 50 150 350 350 100 频率分别为 fi=1,2,3,4,5),易知fi=1,2,3,4,5)由图可知f=0.05,2=0.15,=0.35,因为 f+f3<0.5,f+2+∫>0.5，所以中位数在区间[70,80)之间，设为x,由0.05 +0.15+0.035(x一70)=0.5，解得x=78.57,所以参赛选手初赛成绩的中位数为 78.57分；各区间中值与相应频率如右表： 所以平均数为55×0.05 +65×0.15+75×0.35 区间 55 65 75 85 95 +85×0.35+95×0.1= 中值 78(分)，方差s2=(-23) 频率 0.05 0.15 0.35 0.35 0.1 2×0.05+(-13)2×0.15+(-3)2×0.35+72×0.35+172×0.1=101. 【训练清单】 频率 【变式训练】为了解一种植物果实的情况，随机抽取 组距 一批该植物果实样本测量重量（单位：克），按照 0.075 [27.5,32.5),[32.5,37.5),[37.5,42.5),[42.5, 47.5),[47.5,52.5]分为5组，其频率分布直方图 0.04 如图所示 0.02 0.015 (1)求图中a的值： 027.532.537542.547552.5重/克 (2)估计这种植物果实重量的众数、中位数、平均数 和方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表). 【解】(1)组距d=5,由5×(0.02+0.04+0.075+a+0.015)=1得a=0.05. (2) 中点值 30 35 40 45 50 由频率分布直方图 频率 0.1 0.2 0.375 0.25 0.075 可知最高矩形区间 中点为40，所以这种职务果实重量的众数约为40克；设中位数为x,则0.1 +0.2+0.375(x-37.5)=0.5,解得x=38,所以果实重量的中位数约为38克；各组 中点值和相应的频率依次为=30×0.1+35×0.2+40×0.375+45×0.25+50 ×0.075=40,所以这种植物果实重量的平均数约为40克：s2=(一10)2×0.1+ (一5)2×0.2+02×0.375+52×0.25+102×0.075=28.75.所以这种植物果实的 方差约为28.75. 【巩固清单】 1.某课外小组的同学们在社会实践活动中调查了20户家庭某月的用电量，如下 表所示： 用电量 120 140 160 180 200 度 户数 2 3 6 2 则这20户家庭该月用电量的众数和中位数分别 是() △x 0.1125 A.180,170 B.160,180 C.160, 0.1000 170D.180,160 0.0750 【解析】选D.用电量为180度的家庭最多，有7 0.0625 户，故这20户家庭该月用电量的众数是180：将 用电量按从小到大的顺序排列后，处于最中间位 置的两个数是160,160，故这20户家庭该月用 0.0375 电量的中位数是160.故选D. 0.0250 0.0125 2.某仪器厂从新生产的一批零件中随机抽取40 个检测，如图是根据抽样检测后零件的质量（单 080828486889029496质量（克） 位：克)绘制的频率分布直方图，样本数据分8组，分别为[80,82)，[82,84)， [84,86),[86,88),[88,9