1.3正方形的性质与判定提高卷2023—2024学年北师大版数学九年级上册

1.3正方形的性质与判定提高卷 一、单选题 1．如图，在四边形中，对角线，相交于点，且，，下列说法错误的是（   ） A．若，四边形是菱形 B．若，四边形是矩形 C．若且，四边形是正方形 D．若，四边形是正方形 2．如图，在正方形ABCD中，，E为对角线AC上与A，C不重合的一个动点，过点E作于点F，于点G，连接DE，FG，下列结论：①；②；③；④FG的最小值为2．其中正确结论的序号为（    ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④ 3．如图，将边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AEFG的位置，则图中阴影部分的面积为(   ) A． B． C． D． 4．如图，正方形的边长为10，点是边的中点，点是边上一动点，连接，将沿翻折得到，连接，则的最小值是（    ）    A． B． C． D． 5．小明同学为班级设计如图所示的班徽，为正方形的中心，四块全等的阴影图形均为菱形．若，，三点共线，则图中阴影面积与空白面积之比为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在四边形中，，，，于点E，则的长为（　　）    A．4 B．5 C． D． 7．如图，在正方形中，点E在边上，连接，点、F分别在、上，，，则的度数为（    ） A．75° B．65° C．125° D．115° 8．对角线互相平分且相等的四边形是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 二、填空题 9．已知在四边形ABCD中，，若使四边形ABCD是正方形，则还需加上一个条件： ． 10．如图，四边形ABCD是正方形，AB＝1，以AB为对角线作第二个正方形AEBF，以EB为对角线作第三个正方形EGBH，以此类推，则第n个正方形的面积是 ． 11．如图，中，，点P为上一个动点，将沿直线折叠得到，点A的对应点为点Q，连接，若为直角三角形时，的长为 ．    12．如图，在正八边形ABCDEFGH中，AC、AE是两条对角线，则∠CAE的度数为 °． 13．在中，对角线交于点是边上的一个动点(与点不重合)，连接并延长，交于点，连接．下列说法：①对于任意的点，四边形都是平行四边形；②当时，至少存在一个点，使得四边形是矩形；③当时，至少存在一个点，使得四边形是菱形； ④当时，至少存在一个点，使得四边形是正方形．所有正确说法的序号是 ． 三、解答题 14．如图，在中，，为角平分线，于点E，于点F．求证：四边形是正方形． 15．如图所示，已知A、B、C、D为矩形的四个顶点，，，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以的速度向D移动． (1)P、Q两点从出发开始到几秒时，四边形的面积是； (2)P、Q两点从出发开始到几秒时，点P与点Q间的距离是． 16．如图，在中，点M和N分别在边和上，，连接，点D，E，F，G分别是的中点．求证：四边形是菱形． 17．已知，四边形是正方形，绕点旋转，，，连接，      (1)如图，求证：； (2)直线与相交于点． ①如图，于点，点，证明矩形是正方形； ②如图，连接，若，直接写出在旋转的过程中，线段长度的最小值． 参考答案 1--8DCDAA ADB 9．（答案不唯一） 10． 11．2或 12．45 13．①②③④ 14．是角平分线，，， ，， ， 四边形是矩形， 又， 四边形是正方形． 15．（1）解：当运动时间为t秒时，，． 依题意，得：， 解得：． 答：P，Q两点从出发开始到5秒时，四边形的面积为． （2）解：过点作于点，如图所示． 根据题意可得：,解得：, ∵，， ，即， 解得：，． 答：P，Q两点从出发开始到秒或秒时，点P和点Q的距离第一次是． 16．证明：∵点，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，， 同理可得：，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形为菱形． 17．（1）证明：四边形是正方形， ，， ，， ， ， 在和中， ， ； （2）①证明：如图中，设与相交于点，    ， ， ， ， ， ， ， ，， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ，， ， 又，   ， ， 矩形是正方形； ②作交于点，作于点，      此时， ， ，， 最大时，最小，， ， 由（2）①可知，是等腰直角三角形， ． $$