3.1.1 椭圆及其标准方程 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

椭圆及其标准方程 目录 一、椭圆的定义 二、椭圆的标准方程 一、椭圆的定义 平面内，到两个定点的距离之和为常数( )的点的轨迹称为椭圆。 |MF1|+|MF2|>|F1F2| 点M的轨迹是：椭圆 大于|F1F2| 焦点：F1，F2 焦距：|F1F2| 二、快问快答 判断题 1、平面内，点到两定点的距离之和为常数的点的轨迹，是椭圆。（ ） × |MF1|+|MF2|=|F1F2| 点M的轨迹是：线段F1F2 判断题 2、平面内，到两定点的距离之和小于|F1F2|的点的轨迹，是椭圆。（ ） × |MF1|+|MF2|<|F1F2| 点M的轨迹是：无轨迹 平面内，到两个定点F1, F2的距离之和为常数 的点M的轨迹称为 。 情况一：当|MF1|+|MF2|>|F1F2|，点M的轨迹是：椭圆 情况二：当|MF1|+|MF2|=|F1F2|，点M的轨迹是：线段F1F2 情况三：当|MF1|+|MF2|<|F1F2|，点M的轨迹不存在 1、建系 三、推导椭圆的标准方程1 2、设点 3、列式 4、化简 求圆的标准方程的步骤： (一)小组探讨，建系方案 提示：尽可能使方程的运算简单（一般利用对称性） F1 F2 O y x F1 F2 y O O x 方案一：焦点在x轴上 方案二：焦点在y轴上 以焦点所在直线为 x 轴，线段F1F2的垂直平分线为 y 轴，建立直角坐标系。 1、建系 (二)推导椭圆的标准方程1 2、设点 3、列式 令焦距为2c， 则|F1F2|=2c 任取椭圆上一点M，设M (x，y) |MF1|+|MF2|=2a ∴ M (x，y) （-c，0） （c，0） |MF1|+|MF2|=定长。 ∵ O点是线段F1F2的中点 ∴ |OF1|=|OF2|=c (a>c>0) 设定长为2a 两边同时平方： 化简得： \ \ 化简尝试一：两边同时平方 化简尝试二：移项后再平方 移项 ： 4、化简 (三)小组PK （a²-c²）x²+a²y²=a²（a²-c²） ∵ a>c>0 该方程表示：焦点在x轴上的椭圆。 ∴ b²x²+a²y²=a²b² ∵ a>0，b>0 ∴ 等式的左右两边同时除以a²b² (四)椭圆的标准方程： (a>b>0) (-c，0) (c，0) ∴ a²-c²>0，令a²-c²=b²（b>0) 三、推导椭圆的标准方程2 椭圆的标准方程： (a>b>0) 该方程表示：焦点在y轴上的椭圆。 四、例题讲解 求椭圆的标准方程. （1）焦点在x轴上，焦距为6，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为10. 解： ∵ 焦点在x轴上 ∴ 设：椭圆的标准方程是： 已知： 2c=6，c=3 由题意得：2a=10，a=5 ∴ a²=25 （a>b>0） ∵ a²=b²+c² ∴ 25=b²+9 ∴ b²=16 代入a²，b² ∴ 答：椭圆的标准方程是： 五、课堂练习 求椭圆的标准方程. （1）a=4，b=1，焦点在x轴上. （2）b=，c=5，焦点在y轴上. 解： ∵ 焦点在x轴上 ∴ 设：椭圆的标准方程是： 已知： a=4，b=1 ∴ a²=16，b²=1 代入a²，b² 椭圆的标准方程是： （a>b>0） 解： ∵ 焦点在y轴上 ∴ 设：椭圆的标准方程是： ∵ b=，c=5 ∴ b²=10 ∵ a²=b²+c²=10+25=35 代入a²，b² 椭圆的标准方程是： （a>b>0） 椭圆定义 椭圆图象 y F1 F2 O x y x F1 F2 O |MF1|+|MF2|>|F1F2| 焦点 a、b、c F1 (-c，0)，F2 (c，0) F1 (0，-c)，F2 (0，c) 标准方程 （a>b>0) （a>b>0) |MF1|+|MF2|=2a； a²=b²+c². 焦距：2c； 六、课堂小结 七、课后作业 1、如果椭圆上一点P与焦点F1的距离等于6，那么点P与另一个焦点F2的距离是 . 2、求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）a=4，b=2，焦点在x轴上. （2）a=，c=，焦点在y轴上. （3）a+b=10，c=2. 七、课后作业 4、已知A，B两点的坐标分别是（-1，0），（1，0），直线AM，BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的商是2，点M的轨迹是什么？为什么？ 3、经过椭圆的右焦点F2作垂直于x轴的直线AB，交椭圆于A，B两点，F1是椭圆的左焦点。 （1）求▲AF1B的周长。 （2）如果AB不垂直于x轴，▲AF