2.1.1倾斜角与斜率（导学案） -【上好课】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第一册）

2.1.1倾斜角与斜率导学案 学习目标 (1)初步了解解析几何的产生及其意义，初步认识坐标法思想. (2)理解直线的倾斜角与斜率的概念. (3)掌握过两点的直线的斜率公式. 重点难点 重点：直线的倾斜角和斜率的概念，过两点的直线斜率公式. 难点：用直线的倾斜角和斜率刻画直线的几何特征，建立直线的倾斜角、斜率及直线上任意两点纵横坐标差商之间的关系. 课前预习 自主梳理 知识点一　直线的倾斜角 1．倾斜角的定义 (1)当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴 与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． (2)当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. 2．直线的倾斜角α的取值范围为 . 思考：任何一条直线都有倾斜角吗？不同的直线其倾斜角一定不相同吗？ 提示 由倾斜角的定义可以知道，任何一条直线都有倾斜角；不同的直线其倾斜角有可能相同，如平行的直线其倾斜角是相同的． 知识点二　直线的斜率 1．直线的斜率：把一条直线的倾斜角α的 叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝ . 2．斜率与倾斜角的对应关系 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0 3.过两点的直线的斜率公式:过两点的 直线的斜率公式为 思考：你能说出直线的倾斜角与斜率的区别与联系吗? 提示(1)直线的斜率与倾斜角既有区别,又有联系.它们都反映了直线相对于轴的倾斜程度,本质上是一致的.但倾斜角是角度,是直线倾斜度的直接体现;斜率是实数,是直线倾斜度的间接反映,用斜率比用倾斜角更方便. (2)倾斜角可正、可零,但不可为负,而斜率不仅可正、可零,还可以为负. (3)当时,直线斜率不存在,当时,可以建立倾斜角和斜率之间的函数关系,即. 自主检测 1.判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)任何一条直线都有倾斜角，都存在斜率．(　　) (2)若直线的倾斜角为α，则0°≤α≤180°.(　　) (3)任何一条直线有且只有一个斜率和它对应．(　　) (4)经过两点的直线的斜率公式适用于任何直线．(　　) 2.下面说法正确的是（    ） A．一条直线和轴的正方向所成的角，叫做这条直线的倾斜角 B．直线的斜率为，则其倾斜角为 C．若直线的倾斜角为，则斜率为 D．每一条直线都存在倾斜角，但不一定存在斜率 3.已知a，b，c是两两不等的实数，求经过下列两点的直线的倾斜角. （1），         （2）， （3），． 4.求证：，，三点共线. 5.（多选题）下列说法正确的是（    ） A．有的直线斜率不存在 B．若直线的倾斜角为，且，则它的斜率 C．若直线的斜率为1，则它的倾斜角为 D．截距可以为负值 新课导学 学习探究 环节一 创设情境，引入课题 引导语：十六、十七世纪，为了描述现实世界中的运动变化现象，如行星的运动、平面抛体的运动等，需要对它们的运动轨迹进行精确的代数刻画，运动变化进入了数学，变量观念成为数学中的重要理念.在众多数学家工作的基础上，法国数学家笛卡儿、费马集其大成，创立了坐标系，用坐标刻画运动变化.这是解析几何的创始. 我们知道，点是构成直线的基本元素．在平面直角坐标系中，可以用坐标表示点，那么，如何用坐标表示直线呢？为了用代数方法研究直线的有关问题，本节我们首先在平面直角坐标系中探索确定直线位置的几何要素，然后用代数方法把这些几何要素表示出来． 问题1：回顾平面几何的学习，我们主要研究了哪些类型的图形？所用的研究方法是什么？ 我们知道，平面直角坐标系中的点与有序实数对一一对应，那么平面中的图形和怎样的代数对象对应呢？从本章开始的解析几何就要解决这个问题，把几何问题转化为代数问题，实现通过代数运算来研究几何图形性质的目的. 交通工程上一般用“坡度”来描述一段道路对于水平方向的倾斜程度,如图,一辆汽车沿某条道路从A点前进到B点,在水平方向前进的距离为AD,竖直方向上升的高度为DB(如果是下降,则DB的值为负实数),则坡度k=.k>0表示上坡,k<0表示下坡,为了实际应用与安全,在道路铺设时常要规划坡度的大小. 追问：那么“坡度”是如何来刻画道路的倾斜程度的呢? 为了用代数方法研究直线的有关问题，需要把直线代数化.也就是教科书中提到的“直线如何表示?”，这个表示指的就是代数化.何为代数化？如何代数化？ 环节二 观察分析，感知概念 问题2：直线是最简单的几何图形之一，确定一条直线的几何要素是什么？ 追问：还有没有其他确定一条直线的方法？ 思考 确定一条直线的几何要素是什么？对于平面直角坐标系中的一条直线（图2.1-1)，如何利用坐