第9讲：复数的运算讲义-2023届高三艺考数学一轮复习

第9讲：复数的运算 【课型】复习课 【学习目标】1.理解并掌握复数的四则运算法则 2.能熟练运用法则解决一些简单问题 【预习清单】 【基础知识梳理】 1.复数的加、减、乘、除运算法则设z1=a+bi,z2=c十di(a,b,c,d∈R), 则 ①加法：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i: ②减法：z1-22=(a+bi)-(c+di)=(a-c+(b-d)i: ③乘法：z1·z2=(a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i: ④除法：zlz2=a+bic+di=(a+bi)(c-di)(c+di)(c-di)=ac+bdc2 +d2+bc-adc2+d2i(c+di≠0)， 2.复数加法的运算律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1,22,Z3∈C,有z1+22=四 十Z,(21十z2)+23=么十（Z2十Z) 3.常用结论 (1)(1±i)2=±2i:1+i1-i=i:1-i1+i=-i. (2)i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i. (3)i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0,n∈N*. (4)z2=2=z·. 【引导清单】 考向一：复数的运算 【例1】(1)复数1+2i2-i= (2)若z=1+2i,则z4iz-1= (3)设i是虚数单位，如果复数a十i2一i的实部与虚部相等，那么实数a的值 为一 ④已知1是虚数单位，则（巨）m+±与m= 1-i 1-i 【解析】(1)1+2i2-i=(1+2i)(2+i)(2-i)(2+i)=5i5=i. (2)z4iz-1=4i(1+2i)(1-2i)-1=1.(3)a+i2-i=2a-1+(a+2)i5, 由题意知2a-1=a十2，解得a=3. ④深式=汽+=（品+=+=+=-2 -21 【训练清单】 【变式训练】(1)若(1+i)=1一i,则z= (2)设复数z=1alvs41al1co1(f(12)+i)(1-i),则z= (3)已知复数z满足z-=0,且z·=4,则z= (4)若a为实数，且2+ai1十i=3+i,则a= 【解析】(1)因为(1+i)=1-i,所以=1-i1+i=(1-i)2(1+i)(1-i) =-i,所以z=i.(2)因为z=1alvs4a1\co1(f(12)+i)(1-i)=12+i-i2 +1=32+i2,所以z=914=10)2.(3)设z=a+bi(a,b∈R),则=a bi.由题意，得a+bi-(a一bi)=0,(a+bi)·(a-bi)=4,)即2bi=0,a2 +b2=4,)解得a=±2，b=0,)所以z=±2.(4)因为2+ai1+i=3+i,所 以2+ai=(3+i)(1+i)=2+4i,所以a=4. 【巩固清单】 1.计算下列各式的值： (1)alvs4\alco1(1f(2i1+i)2:(2)2+4i(1+i2:(3)1+i1-i+i3. 【解】(1)\alvs41a11co1(1f(2i1+i))2=4i2(1+i)2=-42i=2i.(2)2+4i (1+i)2=2+4i2i=2-i.(3)1+i1-i+i3=(1+i)2(1-i)(1+i)+i3 =2i2+i3=i-i=0. 2.计算：(1)(1+2i)2+3(1-i)2+i:(2)1-i(1+i)2+1+i(1-i)2: (3)3)i(1r(3)+i)2. 【解】(1)(1+2i)2+3(1-i)2+i=-3+41+3-3i2+i=i2+i=i(2-i) 5=15+25i.(2)1-i(1+i)2+1+i(1-i)2=1-i2i+1+i-2i=1+i-2 +-1+i2=-1.(3)3)i(\r(3)+i)2=3)+i)(-i)(1r(3)+i)2=-i 1r(3)+i=3)-i)4=-14-3)4i. 3.已知复数z=4+2i(1+i)2(1为虚数单位)在复平面内对应的点在直线x一2y 十m=0上，求实数m的值. 【解】2=4+2i(1+i)2=4+2i2i=(4+2i)i2i2=1-2i,复数2在复平 面内对应的点的坐标为(1，一2)，将其代入x一2y+m=0,得m=一5.