第8讲：复数的概念及几何意义讲义-2023届高三艺考数学一轮复习

第8讲：复数的概念及几何意义 【课型】复习课 【学习目标】1.理解并掌握复数的相关概念 2.理解并掌握复数的几何意义 【预习清单】 【基础知识梳理】 1.复数的有关概念 (1)复数的定义：形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数，其中实部是a,虚部是b. (2)复数的分类复数z=a+bi(a,b∈R)实数(b=0),\alvs4\al\col(纯虚数(a =0,b≠0)，非纯虚数(a≠0，b≠0).) (3)复数相等：a+bi=c+di÷a=c且b=d(a,b,c,d∈R), (4)共轭复数：a+bi与c十di共轭÷a=c且b=-d(a,b,c,d∈R). (5)复数的模：向量的模叫做复数2=a十bi的模，记作z或a+bi,即z =a+bi=r=a2+b2(r≥0，a、b∈R). 2.复数的几何意义 对应 一一对 复数z=a十bi 复平面内的点Z(a,b)(a,b∈R) 平面向量 【引导清单】 考向一：复数的有关概念 【例1】(1)复数11一3i的虚部是 (2)满足13·z=1一3i的复数z的共轭复数是 (3)已知a,b∈R,(a+bi)2=3+4i(i是虚数单位)，则a2+b2= ab 【解析】(1)11-3i=1+3i(1+3i)(1-3i)=1+3i10=110+310i,所以 虚部为310. (2)由题意，得z=1-3ii3=1-3i-i=(1-3i)i-i2=3+1,所以=3 i. (3)因为(a+bi)2=a2-b2+2abi=3+4i,所以a2-b2=3,2ab=4,)所以a=2, b=1)或a=-2,b=-1,)所以a2+b2=5,ab=2. 考向二：复数的几何意义 例2：(1)复平面内表示复数z=i(一2+i)的点位于第象限 (2)若复数(1一i)(a十i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围 是 (3)设z=1-i1+i+2i,则z= (4)设复数z满足z一1=1，z在复平面内对应的点为(x,y),则x,y满足的 关系式为 【解析】(1)z=1(-2+1)=-2i+i2=-1-2i,故复平面内表示复数z=1(-2 +i)的点位于第三象限(2)复数(1一i）)(a+i)=a+1+(1一a)i,其在复平面内对 应的点(a+1,1一a)在第二象限，故a+1<0,1一a>0,)解得a<-1.(3)(法) 因为z=1-i1+i+2i=(1-i)2(1+i)(1-i)+2i=-i+2i=i,所以 z=1:(法二)因为z=1-i1+i+2i=1-i+2i(1+i)1+i=-1+i1+i, 所以|z=1f(-1+i1+i)=/一1+i/1+i/==1.(4)由已知条件，可得z =x+yi(x,y∈R).因为z-1=1,所以|x+yi-i=1,所以x2+(y-1)2= 1. 【训练清单】 【变式训练1】(1)设i是虚数单位，若复数a+5i1+2i(a∈R)是纯虚数，则a (2)已知(1十i)(1一ai)>0(i为虚数单位)，则实数a等于 (3)已知a,b∈R,i为虚数单位，若3-4i3=2-bia+i,则a+b= 【解析】(1)由已知，得a+5i1+2i=a+5i(1-2i)(1+2i)(1-2i)=a+ 2+i,由题意得a+2=0,所以a=-2.(2)(1+i)(1-ai)=(1+a)+(1一a) i>0,所以1+a>0,1-a=0,)所以a=1.(3)由3-4i3=2-bia+i得，3 +4i=2-bia+i,即(a+i)(3+4i)=2-bi,(3a-4)+(4a+3)i=2-bi,则 3a-4=2,4a十3=-b,)解得a=2,b=-11,)故a+b=-9. 【变式训练2】(1)已知复数z满足zz一i=1,则z在复平面内对应的点位于第 象限 (2)在复平面内，复数a+i1十i对应的点位于直线y=x的左上方，则实数a的 取值范围是 (3)设复数z满足|z一1=z一i(1为虚数单位)，z在复平面内对应的点为(x, ),则x,y满足的关系式为 【解析】(1)因为zz-i=i,所以z=11-i=1+i2=12+12i,所以z在复平 面内对应的点为\avs4\al\co1(f(112),位于第一象限.(2)因为a+i1+i= (a+i)(1-i)(1+i)(1-i)=(a+1)+(1-a)i2,复数a+i1+i对应 的点位于直线y=x的左上方，所以1一a>a+1,解得a<0.故实数a的取值范 围是（一∞，0），(3)z在复平面内对应的点为(x,y),则z=x十yi(x,y∈R), 又z-1=|z-1|,所以(x-1)2+y2=x2+(y-1)2,所以y=x. 【巩固清单】 1.设z=2+3i3-2i,则z的虚部为 【解析】由已知得z=2+3i3-2i=(2+3i)(3+2i)(3-2i)(3+2i)=13i9 十4