8.6.3平面与平面垂直 讲义——2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

8.6.3 平面与平面垂直 第1课时 平面与平面垂直的判定 一、知识要点 问题1：平面几何中的“角”是如何定义的？角的范围？ 问题2：立体几何中，“异面直线所成角”是怎样定义的？角的范围？ 问题3：立体几何中，“直线和平面所成角”又是怎样定义的？角的范围？ ★二面角： 随手打开一本书,发现每两页书之间所在的平面都形成一个角度;修水坝时,为了使水坝坚固耐用,必须使水坝面与水平面成适当的角度. 问题1:根据上述问题,你发现两平面形成的角有何特点? 答案　可以是锐角、钝角、直角、平角. 问题2:两平面所成角θ的范围是什么? 答案　0°≤θ≤180°. 问题3:二面角的平面角的大小,是否与角的顶点在棱上的位置有关? 答案　无关.如图,根据等角定理可知,∠AOB=∠A'O'B',即二面角的平面角的大小与角的顶点的位置无关,只与二面角的大小有关. 1、二面角的定义： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. 2、 二面角的记法： 二面角的记法:二面角　 　或　 　或 　 或P-AB-Q. 3、 二面角的画法： 4、 二面角的平面角： 我们规定：在二面角α−l−β的棱上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB 叫做二面角的平面角。 注意：①平面角是直角的二面角叫做直二面角； ②二面角的平面角取值范围是0°≤θ≤ 180° 基础巩固： 1、下列命题中： ①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角；④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系.其中正确的是(　　) A.①③ B.②④ C.③④ D.①② 2、若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角(　　) A.相等 B.互补 C.相等或互补 D.关系无法确定 例1.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角A－BC－A1的平面角等于________． 例2.如图，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB. (1)求二面角A－PD－C的平面角的大小； (2)求二面角B－PA－C的平面角的大小． 总结： 关键：作二面角的关键是“垂线”,即从一个半平面上一点作另一个半平面的垂线,或者先证明已有的直线与另一个半平面垂直,再作平面角. 步骤：“一作二证三求” 提醒：找二面角的平面角可以从与二面角的棱垂直的边入手 [练习1]　如图，在四面体PABC中，△ABC与△PBC是边长为2的正三角形，PA＝3，D为PA的中点，求二面角D－BC－A的大小． ★任务2:面面垂直的判定 定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. 建筑工地上,泥水匠砌墙时,为了保证墙面与地面垂直,泥水匠常常在较高处固定一条端点系有铅锤的线,再沿着该线砌墙,如图,这样就能保证墙面与地面垂直.. 问题1:由上述可知,当直线与平面垂直时,过此直线可作无数个平面,那么这些平面与已知平面有何关系? 问题2:若要判断两个平面是否垂直,根据上述问题能否得出一个方法? 答案　可以,只需在一个平面内找一条直线垂直于另一个平面即可. 归纳面面垂直的判定定理 文字语言：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直。 符号语言： 简记为：线面垂直⇒面面垂直 例1　(链接教材第158页例7、例8)如图所示，在四面体A--BCS中，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，又SA＝SB＝SC.求证：平面ABC⊥平面SBC. 例2:如图，在正方体ABCD−A′B′C′D′中，求证:平面A’BD ⊥平面ACC′A′ 例3:如图所示，AB是⨀O的直径，PA垂直于⨀O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点. 求证：平面PAC⊥平面PBC. 总结：面面垂直证明的步骤与关键 关键： 在利用线面垂直证明面面垂直时,关键是确定“线”,即在其中一个平面内找一条直线与另一个平面垂直.一方面要分析图形中已有的垂直关系,另一方面要注意积累常见的线面垂直关系模型,能够直观进行判断选择. 巩固练习1：如图所示,四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的菱形,∠BCD=120°, 平面PCD⊥平面ABCD,PC=a,PD=a,E为PA的中点. 求证:平面EDB⊥平面ABCD. 巩固练习2：如图所示,在四棱