模块核心素养（教师用书Word）-【状元桥·优质课堂】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版 2019）

模块核心素养 素养一　逻辑推理 内涵与要求 逻辑推理是数学思维的主要形式，是发现、提出数学命题以及论证命题正确与否的重要手段，也是构建数学体系的重要方式．学习过程中要求能够在实际情境和数学情境中发现蕴含的数学规律，提出有价值的数学问题，并予以数学表达．能够理解各个数学模块中概念、命题、定理之间的逻辑关系，初步建立网状的知识结构．对于给定的与学过的知识有一些关联的数学命题，能够多探索论证思路，选择合适的论证方法予以证明，并能用准确的数学语言表述论证过程． 【典例1】 已知集合{a，b，c}＝{0,1,2}，且下列三个关系：①a≠2；②b＝2；③c≠0有且只有一个正确，则100a＋10b＋c＝(　　) A．12 B．21 C．201 D．210 答案　C 解析　可分下列三种情形： (1)若只有①正确，则a≠2，b≠2，c＝0， 所以a＝b＝1，这与集合中元素的互异性矛盾，所以只有①正确不符合题意； (2)若只有②正确，则b＝2，a＝2，c＝0，这与集合中元素的互异性矛盾，所以只有②正确不符合题意； (3)若只有③正确，则c≠0，a＝2，b≠2，所以b＝0，c＝1，所以只有③正确符合题意．所以100a＋10b＋c＝100×2＋10×0＋1＝201.故选C项． 素养二　直观想象 内涵与要求 直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式，特别是图形，理解和解决数学问题的素养．它是发现和提出问题、分析和解决问题的重要手段，是探 索和形成论证思路、进行数学推理、构建抽象结构的思维基础．高考中要求能够进一步发展几何直观和空间想象能力，增强运用图形和空间想象思考问题的意识，提升数形结合的能力，感悟事物的本质，培养创新思维． 【典例2】 设关于x的方程sin＝在上有两个不同的根α，β，求α＋β的值及k的取值范围． 解析　设曲线C：y＝sin，x∈，直线l：y＝，在同一平面直角坐标系中作出它们的图象，如图所示． 由图象知，当≤＜1，即0≤k＜1时，直线l与曲线C有两个交点，且两交点的横坐标为α，β，从图象中还可看出α，β关于x＝对称，故α＋β＝.综上可知，α＋β＝，k的取值范围是[0,1)． 素养三　数学运算 内涵与要求 数学运算是指在明晰运算对象的基础上依据运算法则解决数学问题的素养．运算是构成数学抽象结构的基础要素，是演绎推理的重要形式，是得到数学结果的重要手段．运算能力是学会数学的基础．学习过程中要求能够 在数学情境中明晰运算对象，提出运算问题、探究运算的方向和目标，能够针对运算问题、条件、方向合理选择运算方法和思路，综合应用法则求得运算结果． 【典例3】 (1)(2022·全国甲)将函数f(x)＝sin(ω>0)的图象向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则ω的最小值是(　　) A. B． C. D． (2)(2022·浙江)若3sin α－sin β＝，α＋β＝，则sin α＝____，cos 2β＝____. 解析　(1)由题意知，曲线C为y＝sin＝sin，又C关于y轴对称，则＋＝＋kπ，k∈Z，解得ω＝＋2k，k∈Z，又ω>0，故当k＝0时，ω的最小值为.故选C项． (2)因为α＋β＝，所以sin β＝cos α， 即3sin α－cos α＝， 即＝， 令sin θ＝，cos θ＝， 则sin(α－θ)＝， 所以α－θ＝＋2kπ，k∈Z， 即α＝θ＋＋2kπ， 所以sin α＝sin＝cos θ＝， 则cos 2β＝2cos2β－1＝2sin2α－1＝. 答案　(1)C　(2)　 【典例4】 已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数． (1)求a，b的值； (2)解关于t的不等式f(t2－2t)＋f(2t2－1)<0. 解析　(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，即＝0，解得b＝1，所以f(x)＝. 又由f(1)＝－f(－1)知＝－，解得a＝2. (2)由(1)知f(x)＝＝－＋. 由上式易知f(x)为减函数． 又因为f(x)是奇函数， 所以不等式f(t2－2t)＋f(2t2－1)<0 等价于f(t2－2t)<－f(2t2－1)＝f(－2t2＋1)． 因为f(x)是减函数， 由上式可得t2－2t>－2t2＋1，即3t2－2t－1>0，解不等式可得解集为. 素养四　数学抽象 内涵与要求 数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养．它也是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，反映了数学的本质特征，贯穿在数学产生、发展、应用的过程中．学习过程中要求能够多角度理解并能用准确的数学语言表达学过的数学概念、规则、命题与模型；能够提炼出解决一类问题的数学方法，理解其中的数学思想(思维与表达)． 【典例5】 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式