5.7 三角函数的应用（教师用书Word）-【状元桥·优质课堂】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版 2019）

5．7　三角函数的应用 [学习目标] 1.会用三角函数解决简单的实际问题，培养数学建模的核心素养(重点).2.体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型，提升数学建模和数学运算的核心素养． 要点　三角函数的应用 1．三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律预测其未来等方面发挥着十分重要的作用．具体地，我们可以利用搜集到的数据，先画出相应的散点图、观察散点图，然后进行函数拟合获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题，其过程如图所示． 2．三角函数在物理简谐运动问题中的应用 物体的简谐运动是一种常见的运动，它的特点是周而复始，因此简谐运动可以用函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)表示，其中A>0，ω>0，函数解析式中的A就是简谐运动的振幅，它是简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离；这个简谐运动的周期T＝，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间；这个简谐运动的频率由公式f＝＝给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数；ωx＋φ称为相位；x＝0时的相位φ称为初相． 3．三角函数在生活中的应用 如大海中的潮汐现象、日常生活中气温的变化、季节的更替等也具有周期性，因此常常也用三角函数模型来模拟这种运动状态． 探究一　数据拟合模型的应用 规律总结 数据拟合问题实质上是根据题目提供的数据画出简图，求相关三角函数的解析式进而研究实际问题．处理曲线拟合与预测问题时，通常需要四个步骤． (1)根据原始数据绘出散点图． (2)通过考查散点图，画出与其“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线． (3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数解析式． (4)利用函数解析式，根据条件进行预测和调控，以便为决策和管理提供依据． 【例题1】 如表所示是某地一年中10天的白昼时间统计表(时间精确到0.1小时). 日期 1月 1日 2月 28日 3月 21日 4月 27日 5月 6日 6月 21日 8月 13日 9月 20日 10月 25日 12月 21日 日期位 置序号x 1 59 80 117 126 172 225 263 298 355 白昼时 间y(小时) 5.6 10.2 12.4 16.4 17.3 19.4 16.4 12.4 8.5 5.4 (1)以日期在365天中的位置序号x为横坐标，白昼时间y为纵坐标，在如图所示的坐标系中画出这些数据的散点图； (2)试选用一个函数来近似描述一年中白昼时间y与日期位置序号x之间的函数关系(注：①求出所选用的函数关系式；②一年按365天计算)； (3)用(2)中的函数模型估计该地一年中大约有多少天白昼时间大于15.9小时． 解析　(1)散点图如图所示． (2)由散点图知白昼时间y与日期位置序号x之间的函数关系近似为y＝Asin(ωx＋φ)＋t(A＞0，ω＞0)． 由题意知函数的最大值为19.4，最小值为5.4，即ymax＝19.4，ymin＝5.4.由19.4－5.4＝14，得A＝7.由19.4＋5.4＝24.8，得t＝12.4. 又因为T＝365，所以ω＝.当x＝172时，＋φ＝＋2kπ(k∈Z)．取φ＝－，所以y＝7sin＋12.4(1≤x≤365，x∈N*)． (3)由y＞15.9，得sin＞， 所以＋2kπ＜－＜＋2kπ(k∈Z)， 则＋＋365k＜x＜＋＋365k(k∈Z)． 又因为1≤x≤365，x∈N*， 所以111＜x≤232. 所以该地一年中大约有121天白昼时间大于15.9小时． 【变式1】 某地区的一种特色水果的上市时间有11个月，预测上市初期和后期会因供不应求使价格呈连续上涨趋势，而中期又将出现供大于求使价格呈连续下跌趋势，现有三种价格模拟函数：①f(x)＝p·qx ；②f(x)＝px2＋qx＋1；③f(x)＝Asin＋B(以上三式中p，q，A，B 均为常数)． (1)为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数，为什么？ (2)若f(3)＝8，f(7)＝4，求出所选函数f(x)的解析式(注：函数的定义域是[0,10]，其中x＝0 表示1月份，x＝1表示2月份，……，以此类推)，为保证果农的收益，打算价格在5元以下期间积极拓宽外销渠道，请你预测该水果在哪几个月份要采用外销策略？ 解析　(1)应选f(x)＝Asin＋B.模拟函数①f(x)＝p·qx是单调函数且不具有先升后降再升的特点；模拟函数②f(x)＝px2＋qx＋1同样不具有先升后降再升的特点；模拟函数③f(x)＝Asin＋B有多个单调递增区间和递减区间，具有先升后降再升的特点． (2)由f(3)＝Asin＋B＝Asin＋B＝A＋B＝8， f(7)＝Asi