5.6 函数y＝Asin(ωx＋φ)（教师用书Word）-【状元桥·优质课堂】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版 2019）

5．6　函数y＝Asin(ωx＋φ) [学习目标] 1.结合具体实例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义，能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响，培养直观想象、数学抽象和数学建模的核心素养(重点).2.掌握y＝sin x与y＝Asin(ωx＋φ)图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤，提升直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养(难点)． 要点　用“图象变换法”作y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象 1．φ对y＝sin(x＋φ)图象的影响 一般地，把正弦曲线上的所有点向左(当φ＞0时)或向右(当φ＜0时)平移|φ|个单位长度，就得到函数y＝sin(x＋φ)(φ≠0)的图象． 2．ω(ω＞0)对y＝sin(ωx＋φ)图象的影响 一般地，函数y＝sin(ωx＋φ)的周期是，把y＝sin(x＋φ)图象上所有点的横坐标缩短(当ω＞1时)或伸长(当0＜ω＜1时)到原来的倍(纵坐标不变)，就得到y＝sin(ωx＋φ)的图象． 3．A(A＞0)对y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响 一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，可以看作是把y＝sin(ωx＋φ)图象上所有点的纵坐标伸长(当A＞1时)或缩短(当0＜A＜1时)到原来的A倍(横坐标不变)而得到．从而，函数y＝Asin(ωx＋φ)的值域是[－A，A]，最大值是A，最小值是－A. 4．正弦曲线到函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的变换过程 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)将函数y＝sin x的图象向右平移2个单位长度，得到函数y＝sin(x＋2)的图象．(　　) (2)将函数y＝sin x的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝cos x的图象．(　　) (3)将函数y＝sin x图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，便得到函数y＝2sin x的图象．(　　) (4)把函数y＝cos x图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，就得到函数y＝cos 3x的图象．(　　) (5)将函数y＝sin 4x的图象向右平移个单位，得到y＝sin的图象．(　　) 提示　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×　(5)× 探究一　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换 规律总结 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换的方法有两种：①先平移，后伸缩；②先伸缩，后平移．表面上看，两种变换方法中的平移单位长度|φ|和是不同的，但由于平移时平移的对象不同，所以得到的结果都是一致的． 【例题1】 已知函数y＝2sin. (1)用“五点法”画出函数的图象； (2)说出此图象是由函数y＝sin x的图象经过怎样的变换得到的． 解析　(1)令X＝＋，则当x变化时，y的值如表所示. X 0 π 2π x － y 0 2 0 －2 0 描点画图． 把上的图象向左、右扩展，即可得到它的简图． (2)函数y＝sin x的图象函数y＝sin的图象函数y＝sin的图象函数y＝2sin的图象． 【变式1】 (1)为了得到函数y＝4sin 3x的图象，只需将函数y＝4cos的图象 (　　) A．左移个单位长度 B．左移个单位长度 C．右移个单位长度 D．右移个单位长度 (2)若将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为(　　) A．x＝－(k∈Z) B．x＝＋(k∈Z) C．x＝－(k∈Z) D．x＝＋(k∈Z) 解析　(1)因为y＝4cos＝4sin＝4sin，所以为了得到函数y＝4sin 3x的图象，只需将函数y＝4sin的图象右移个单位长度．故选D项． (2)函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，得到的图象对应的函数解析式为y＝2sin ，令2＝kπ＋(k∈Z)，解得x＝＋(k∈Z)，所以所求对称轴的方程为x＝＋(k∈Z)．故选B项． 答案　(1)D　(2)B 探究二　已知函数的图象求函数的解析式 规律总结 解决此类问题的关键在于确定参数A，ω，φ，其基本方法是在观察图象的基础上，利用待定系数法求解． (1)一般可由图象上的最大值、最小值来确定|A|. (2)因为T＝，所以往往通过求周期T来确定ω，可通过已知曲线与x轴的交点来确定T，即相邻的最高点与最低点的横坐标之间的距离为；相邻的两个最高点(或最低点)的横坐标之间的距离为T. (3)从寻找“五点法”中的第一零点(也叫初始点)作为突破口，要从图象的升降情况找准第一零点的位置，从而确定φ. 【例题2】 函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，将y＝f(x)的图象向左平移个单位长度得到函数y＝g(x)的图象，则函数y＝g(x)的解析式是(　　) A．g(x)＝－sin 2x B．g(x)＝s