5.5.2 简单的三角恒等变换（教师用书Word）-【状元桥·优质课堂】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版 2019）

5．5.2　简单的三角恒等变换 [学习目标] 1.能用两角和差公式、二倍角公式、积化和差、和差化积、半角公式(后三组公式不要求记忆)进行简单的恒等变换，提升逻辑推理的核心素养(重点).2.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及证明三角恒等式，并能进行一些简单的应用，提升数学运算的核心素养(难点)． 要点一　半角的正弦、余弦、正切公式 1．由二倍角的余弦公式cos α＝2cos2－1＝1－2sin2可得半角公式： sin2＝，cos2＝，tan2＝. 2．由1中得到的三个式子两边开方可得： sin ＝±，cos ＝±， tan ＝±，其中的符号由所在的象限确定． 3．万能公式：sin 2α＝，cos 2α＝，tan 2α＝.　 要点二　和差化积、积化和差公式 1．和差化积公式 (1)sin α＋sin β＝2sincos. (2)sin α－sin β＝2cossin. (3)cos α＋cos β＝2coscos. (4)cos α－cos β＝－2sinsin. 2．积化和差公式 (1)sin αcos β＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]． (2)cos αsin β＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]． (3)cos αcos β＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]． (4)sin αsin β＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]． 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)cos ＝.(　　) (2)存在α∈R，使得cos ＝cos α.(　　) (3)对于任意α∈R，sin ＝sin α都不成立．(　　) (4)若α是第一象限角，则tan ＝.(　　) 提示　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 探究一　半角公式的应用 规律总结 (1)确定半角的正弦、余弦、正切公式的符号的原则． ①如果没有给出决定符号的条件，则在根号前保留正负两个符号；②若给出了角α的具体范围(即某一区间)，则先求所在范围，然后再根据所在范围确定正负号． (2)半角的正切公式的有理式形式是tan＝＝. 【例题1】 已知＝2，求cos α－sin α的值． 解析　因为＝＝＝2， 所以tan＝， 所以cos α－sin α＝cos2－sin2－2sincos ＝ ＝ ＝＝－. 【变式1】 已知cos θ＝－，且180°＜θ＜270°，求tan . 解析　因为180°＜θ＜270°，所以sin θ＜0， 所以sin θ＝－＝－＝－， 所以tan ＝＝＝－2. 探究二　三角恒等式的证明 规律总结 对于给定条件的三角恒等式的证明，常用的方法有直推法和代入法．将条件角转化为结论角后，由条件等式直接推到结论等式，就是直推法；有时从条件等式中解出关于某个角的某个三角函数值，代入结论，等式便消去某个角，从而将问题转化为三角恒等式的证明问题，这就是代入法的基本思想． 【例题2】 已知sin θ＋cos θ＝2sin α，sin2β＝sin θcos θ，求证：cos 2β＝2cos 2α. 证明 由题意得 ①2－②×2，得4sin2α－2sin2β＝1， 变形为1－2sin2β＝2－4sin2α，则有cos 2β＝2cos 2α. 【变式2】 求证：＝tan＋. 证明 因为左边＝ ＝ ＝＝ ＝tan＋＝右边， 所以原等式成立． 探究三　辅助角公式的应用 规律总结 (1)公式形式：asin α＋bcos α＝·sin(α＋φ)或asin α＋bcos α＝cos(α－φ).将形如a·sin α＋bcos α(a，b不同时为零)的三角函数式转化为同一个角的三角函数式． (2)形式选择：化为正弦还是余弦，要由具体条件而定，一般要求转化后角α的系数为正，这样更有利于研究函数的性质． 【例题3】 已知函数f(x)＝4tan xsin·cos－. (1)求f(x)的定义域与最小正周期； (2)讨论f(x)在区间上的单调性． 解析　(1)函数f(x)的定义域为. 因为f(x)＝4tan xcos xcos－ ＝4sin xcos－ ＝4sin x－ ＝2sin xcos x＋2sin2x－ ＝sin 2x＋(1－cos 2x)－ ＝sin 2x－cos 2x ＝2sin， 所以f(x)的最小正周期T＝＝π. (2)由(1)可知f(x)＝2sin，x∈，由于x∈，所以2x－∈，当2x－∈时，f(x)单调递减，即f(x)在区间上单调递减；当2x－∈时，f(x)单调递增，即f(x)在区间上单调递增． 【变式3】 设函数f(x)＝msin 2x＋2cos2x－1(m>0)，且f(x)的最小值为－2. (1)求m； (2)若函数f(x)在区间上的值域为[－1,2]，求实数a的取值范围． 解析　(1)因为f(x)＝msin 2x＋2cos2x－1(m>0