5.5.1 第3课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式（教师用书Word）-【状元桥·优质课堂】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版 2019）

第三课时　二倍角的正弦、余弦、正切公式 [学习目标] 1.能从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，培养逻辑推理的核心素养(重点).2.能熟练运用二倍角公式及其变形公式，提升数学运算的核心素养(难点)． 要点一　二倍角的正弦、余弦、正切公式 记法 公式 S2α sin 2α＝2sin αcos α C2α cos 2α＝cos2α－sin2α T2α tan 2α＝ 要点二　二倍角的余弦公式的变形 探究一　给角求值 误区防错 应用二倍角公式求值的注意点 (1)对于“二倍角”应该有广义上的理解，如8α是4α的二倍角；6α是3α的二倍角；4α是2α的二倍角；3α是的二倍角；α是的二倍角；是的二倍角；…… (2)注意公式的逆用 主要形式有2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝sin 2α，cos α＝，cos2α－sin2α＝cos 2α，＝tan 2α. (3)注意公式的变形用 主要形式有1±sin 2α＝sin2α＋cos2α±2·sin αcos α＝(sin α±cos α)2,1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α，cos2α＝，sin2α＝. 【例题1】 求下列各式的值． (1)coscos； (2)； (3)－cos2； (4)sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°. 解析　(1)原式＝cossin ＝×2cossin＝sin＝. (2)原式＝cos2－sin2＝cos＝. (3)原式＝× ＝－cos＝－. (4)原式＝cos 20°cos 40°cos 80° ＝ ＝ ＝ ＝·＝. 【变式1】 求下列各式的值． (1)1－2sin2750°； (2)； (3)sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°. 解析　(1)原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500°＝cos(4×360°＋60°)＝cos 60°＝. (2)原式＝tan(2×150°) ＝tan 300°＝tan(360°－60°) ＝－tan 60°＝－. (3)原式＝sin 6°cos 12°cos 24°cos 48° ＝ ＝ ＝ ＝＝＝＝. 探究二　条件求值 规律总结 条件求值问题常有两种解题途径：①对题设条件变形，把条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；②对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论． 【例题2】 已知tan α＝2. (1)求tan的值； (2)求的值． 解析　(1)tan＝ ＝＝－3. (2) ＝ ＝＝＝1. 【变式2】 已知sin＝，0＜x＜，求的值． 解析　因为0<x<，sin＝， 所以－x∈，cos＝， 所以＝ ＝(cos x＋sin x)＝2 ＝2 ＝2cos＝. 探究三　化简与证明 解题技巧 恒等式的证明思路 恒等式的证明实质是从化简开始的，这是用运算的方法证明结论的常用思路，指导思想是把不同的角化为相同的角．事实上，二倍角公式本身是“升幂公式”，其变形sin2α＝，cos2α＝，tan2α＝是“降幂公式”，在化简证明中应灵活选择． 【例题3】 (1)化简：＋. (2)证明：＝sin 2α. 解析　(1)原式＝＋ ＝＋ ＝|sin 10°＋cos 10°|＋|sin 10°－cos 10°| ＝sin 10°＋cos 10°＋cos 10°－sin 10° ＝2cos 10°. (2)证明：左边＝＝cos2α· ＝cos2α·tan α＝cos αsin α ＝sin 2α＝右边， 所以原等式成立． 【变式3】 (1)化简：. (2)证明：－tan θtan 2θ＝1. 解析　(1)原式＝ ＝ ＝ ＝. (2)证明：左边＝－＝＝＝＝1＝右边，所以原等式成立． 1．(2020·全国Ⅱ改编)若sin x＝－，则cos 2x＝(　　) A. B． C. D． 答案　A 解析　因为sin x＝－，所以由二倍角公式得cos 2x＝1－2sin2x＝1－2×2＝.故选A项． 2．化简·的结果为(　　) A. B． C．1 D．2 答案　A 解析　易知原式＝×·＝tan 28°·＝.故选A项． 3.已知α∈，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝(　　) A. B． C． D． 答案　B 解析　由2sin 2α＝cos 2α＋1得4sin αcos α＝2cos2α.因为α∈，所以cos α>0，所以＝.又sin2α＋cos2α＝1，所以sin α＝.故选B项． 4.若tan＝，α∈，则cos α＝____. 解析　cos α＝＝＝＝. 答案　 1．cos4－sin4＝(　　) A．0 B． C．1 D．－ 答案　B 解析