5.5.1 第2课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（教师用书Word）-【状元桥·优质课堂】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版 2019）

第二课时　两角和与差的正弦、余弦、正切公式 [学习目标] 1.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系，强化逻辑推理的核心素养.2.掌握两角和与差的正弦、余弦公式，并能灵活运用这些公式进行简单的化简、求值与证明，强化逻辑推理和数学运算的核心素养(重点)． 要点　两角和与差的正弦、余弦、正切公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角和 的余弦 C(α＋β) cos(α＋β)＝ cos_αcos_β－sin_αsin_β α，β∈R 两角差 的余弦 C(α－β) cos(α－β)＝ cos_αcos_β＋sin_αsin_β α，β∈R 两角和 的正弦 S(α＋β) sin(α＋β)＝ sin_αcos_β＋cos_αsin_β α，β∈R 两角差 的正弦 S(α－β) sin(α－β)＝ sin_αcos_β－cos_αsin_β α，β∈R 两角和 的正切 T(α＋β) tan(α＋β)＝ α，β，α＋β≠ kπ＋(k∈Z) 两角差 的正切 T(α－β) tan(α－β)＝ α，β，α－β≠ kπ＋(k∈Z) 探究一　化简求值 规律总结 (1)解决给角求值问题的方法 ①对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角函数公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形；②一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为可正负相消的项并消项求值，化分子或分母的形式进行约分，解题时要会逆用或变用公式． (2)常用的正切公式变形：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)，tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β)，tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝tan(α－β)，1－tan αtan β＝，1＋tan αtan β＝. 【例题1】 求下列各式的值． (1)sin＋2sin－cos； (2)tan 12°＋tan 33°＋tan 12°tan 33°； (3)； (4)(tan 10°－)·. 解析　(1)原式＝sin xcos＋cos xsin＋2sin x·cos－2cos xsin－coscos x－sinsin x ＝sin x＋cos x＋sin x－cos x＋cos x－sin x ＝sin x＋cos x＝0. (2)因为＝tan(12°＋33°)＝tan 45°＝1， 所以tan 12°＋tan 33°＝1－tan 12°tan 33°， 所以tan 12°＋tan 33°＋tan 12°tan 33°＝1. (3) ＝ ＝ ＝sin 30°＝. (4)原式＝(tan 10°－tan 60°)· ＝· ＝· ＝－· ＝－＝－2. 【变式1】 求下列各式的值． (1)； (2)tan 50°－tan 20°－tan 50°tan 20°. 解析　(1)原式＝ ＝＝tan 30°＝. (2)因为tan 30°＝tan(50°－20°) ＝＝， 所以tan 50°－tan 20°＝(1＋tan 50°tan 20°)， 所以原式＝(1＋tan 50°tan 20°)－tan 50°tan 20°＝. 探究二　给值求值 解题技巧 给值(式)求值的策略 (1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式． (2)当“已知角”有一个时，应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”． 【例题2】 已知＝2，＝3，求tan(α＋β)的值． 解析　由已知＝2，即＝2， 所以＝tan(45°－α)＝2， 同理，由＝3得tan(45°＋β)＝3， 所以tan(α＋β)＝tan[(45°＋β)－(45°－α)] ＝＝＝. 【变式2】 已知sin＝，cos＝，且0＜α＜＜β＜，求cos(α＋β)的值． 解析　因为0＜α＜＜β＜， 所以＜＋α＜π，－＜－β＜0. 又因为sin＝，cos＝， 所以cos＝－，sin＝－. 所以cos(α＋β)＝sin ＝sin ＝sincos－cossin ＝×－×＝－. 探究三　给值求角 规律总结 已知三角函数值求角的方法 已知三角函数值求角，在选三角函数时，可遵循以下原则：一般地，已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数，若角的范围为，选正弦函数和余弦函数都可；若角的范围是，选正弦函数比余弦函数好；若角的范围是(0，π)，选余弦函数比正弦函数好． 【例题3】 已知sin＝，sin＝，且α－∈，β－∈，求的值． 解析　因为sin＝，sin＝，且α－∈，β－