5.5.1 第1课时 两角差的余弦公式（教师用书Word）-【状元桥·优质课堂】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版 2019）

5.5　三角恒等变换 5．5.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式 第一课时　两角差的余弦公式 [学习目标] 1.经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义，培养逻辑推理的核心素养.2.熟记两角差余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算，提升逻辑推理、数学运算的核心素养(重点)． 要点一　差角的余弦公式 对于任意角α，β有cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β，此公式给出了任意角α，β的正弦、余弦与其差角α－β的余弦之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作C(α－β)． 要点二　公式C(α－β)的作用 从左到右正用公式时，可以利用已知的α与β的正弦、余弦函数值求α－β的余弦函数值，再结合同角关系式就能求出α－β的正弦和正切函数值；从右到左逆用公式时，可以起到将含两个角的余弦积与含这两个角的正弦积之和的三角函数式化简为含一个差角的余弦形式． 练习：(多选)下列结论正确的是(　　) A．存在这样的α和β值，使得cos(α－β)＝cos αcos β－sin αsin β B．不存在α和β值，使得cos(α－β)＝cos α·cos β－sin αsin β C．对任意的α和β，都有cos(α－β)＝cos α·cos β＋sin αsin β D．不存在这样的α和β值，使得cos(α－β)≠cos αcos β＋sin αsin β 答案　ACD 解析　若sin α或sin β有一个为0，即 α＝kπ(k∈Z)或 β＝kπ(k∈Z)，则cos(α－β)＝cos αcos β，故A，C，D项正确，B项不正确．故选ACD项． 探究一　给角求值 规律总结 对公式C(α－β)的理解 (1)公式的结构特点：公式的左边是差角的余弦，公式的右边是含有同名函数之积的和式，可用口诀“余余正正号相反”记忆公式． (2)公式的适用条件：公式中的α，β不仅可以是任意角，也可以是一个“团体”，如cos中的“”相当于公式中的角α，“”相当于公式中的角β. (3)公式的灵活应用：公式的应用要讲究一个“活”字，即正用、逆用、变形应用，还要创造条件应用公式，如构造角β＝(α＋β)－α，β＝－等等． 【例题1】 求下列三角函数式的值． (1)cos ； (2)－sin 167°sin 223°＋sin 257°sin 313°. 解析　(1)cos ＝cos＝－cos ＝－cos＝－cos ＝－ ＝－＝－. (2)原式＝－sin(180°－13°)sin(180°＋43°)＋sin(180°＋77°)·sin(360°－47°) ＝sin 13°sin 43°＋sin 77°sin 47° ＝sin 13°sin 43°＋cos 13°cos 43° ＝cos(13°－43°) ＝cos(－30°)＝. 【变式1】 (1)cos 50°cos 20°＋sin 50°sin 20°的值为(　　) A. B． C． D． (2)cos(－15°)的值为(　　) A. B． C. D．－ (3)化简cos(α＋45°)cos α＋sin(α＋45°)sin α＝____. 解析　(1)cos 50°cos 20°＋sin 50°sin 20°＝cos(50°－20°)＝cos 30°＝.故选C项． (2)cos(－15°)＝cos 15°＝cos(60°－45°)＝cos 60°cos 45°＋sin 60°sin 45°＝×＋×＝.故选C项． (3)cos(α＋45°)cos α＋sin(α＋45°)sin α ＝cos(α＋45°－α)＝. 答案　(1)C　(2)C　(3) 探究二　给值求值 误区防错 对于给值求值问题，一定要注意已知角与所求角之间的关系，是否互余或互补，是否可用已知角的差表示所求角等，恰当地运用拆角、凑角等技巧进行角的转化．在将所求角分解成某两角的差时，应注意如下变换：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，2α＝(β＋α)－(β－α)等． 【例题2】 (1)设cos＝－，sin＝，其中α∈，β∈，求cos的值． (2)已知cos α＋cos β＝，sin α＋sin β＝，求cos(α－β)的值． 解析　(1)因为α∈，β∈， 所以α－∈，－β∈， 所以sin＝ ＝＝， cos＝ ＝＝， 所以cos＝cos ＝coscos＋sinsin ＝－×＋×＝. (2)因为cos α＋cos β＝， 所以(cos α＋cos β)2＝， 即cos2α＋2cos αcos β＋cos2β＝，① 因为sin α＋sin β＝， 所以(sin α＋sin β)2＝， 即sin2α＋2sin αsin β＋sin2β＝，② ①＋②得(cos2α＋sin2α)＋2(cos