5.4.3 正切函数的性质与图象（教师用书Word）-【状元桥·优质课堂】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版 2019）

5．4.3　正切函数的性质与图象 [学习目标] 1.掌握正切函数的周期性和奇偶性，培养数学抽象的核心素养(重点).2.能借助单位圆画出y＝tan x的图象，培养直观想象的核心素养.3.掌握正切函数在上的性质，培养数学运算的核心素养(重点)． 要点一　正切函数的图象 要点二　正切函数的性质 性质 图象特点 定义域为 图象与直线x＝＋kπ，k∈Z没有交点 值域为R 图象向上、向下无限延伸 最小正周期为π 在区间，k∈Z上图象完全一样 奇函数 图象关于原点对称 在每一个区间(k∈Z)上都单调递增 图象在，k∈Z上是上升的 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)正切函数在整个定义域内单调递增．(　　) (2)存在某个区间，使正切函数单调递减．(　　) (3)正切函数图象相邻两个对称中心的距离为周期π.(　　) (4)函数y＝tan x为奇函数，故对任意x∈R都有tan(－x)＝－tan x．(　　) 提示　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 探究一　正切函数的定义域 规律总结 正切函数y＝tan x的定义域为.求正切函数与其他函数复合而成的函数的定义域时，实际上就是解关于正切函数的三角不等式，常借助三角函数的图象求解． 【例题1】 求函数y＝的定义域． 解析　由tan x≥知，kπ＋≤x＜kπ＋，k∈Z， 故定义域为. 【变式1】 求下列函数的定义域． (1)y＝tan；(2)y＝ln(tan x)． 解析　(1)由6x＋≠kπ＋，k∈Z 得x≠＋，k∈Z， 故定义域为. (2)由题意得 即 故定义域为，k∈Z. 探究二　正切函数的单调性 规律总结 (1)正切函数y＝tan x在开区间(k∈Z)内都单调递增，求函数y＝Atan(ωx＋φ)的单调区间，只需由－＋kπ＜ ωx＋φ＜＋kπ(k∈Z)解出x的取值范围即可．但若ω＜0，可利用诱导公式将其化为正值，还要注意A的正负对函数单调性的影响． (2)利用正切函数的单调性及复合函数的单调性来研究含有正切函数的函数的单调性或者比较正切函数值的大小． 【例题2】 (1)求函数y＝tan的单调递减区间． (2)比较tan 1，tan 2，tan 3的大小． 解析　(1)y＝tan＝－tan， 由kπ－＜x－＜kπ＋，k∈Z，得2kπ－＜x＜2kπ＋，k∈Z， 所以函数y＝tan的单调递减区间是，k∈Z. (2)因为tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)． 又因为＜2＜π，所以－＜2－π＜0. 因为＜3＜π，所以－＜3－π＜0. 显然－＜2－π＜3－π＜1＜， 又y＝tan x在上单调递增， 所以tan(2－π)＜tan(3－π)＜tan 1， 即tan 2＜tan 3＜tan 1. 【变式2】 (1)函数f(x)＝tan的单调递增区间是(　　) A.，k∈Z B.，k∈Z C.，k∈Z D.，k∈Z (2)tan____tan(填“＞”“＜”或“＝”)． 解析　(1)令－＋kπ＜－＜＋kπ，k∈Z，解得2kπ－＜x＜2kπ＋，k∈Z，所以函数的单调递增区间为，k∈Z.故选B项． (2)tan＝tan，tan＝tan. 因为－＜－＜－＜， 又y＝tan x在上单调递增， 所以tan＜tan，即tan＜tan. 答案　(1)B　(2)＜ 探究三　正切函数的值域(最值) 规律总结 (1)正切函数y＝tan x在定义域上的值域为R，而对于不同的x的取值范围，值域会不同，一般需要根据其单调性和图象求解． (2)在有关正切函数的值域问题中，应注意x的取值范围，求出tan x的取值后，一般可以采用换元法求函数的值域． 【例题3】 若x∈，求函数y＝＋2tan x＋1的最值及相应的x的值． 解析　y＝＋2tan x＋1＝＋2tan x＋1＝tan2x＋2tan x＋2＝(tan x＋1)2＋1. 因为x∈，所以tan x∈[－，1]． 故当tan x＝－1，即x＝－时，y取最小值1； 当tan x＝1，即x＝时，y取最大值5. 【变式3】 求函数y＝，x∈的最大值和最小值． 解析　y＝ ＝tan2x＋1－tan x＝2＋. 因为x∈，所以tan x∈[0,1]， 所以当tan x＝时，ymin＝；当tan x＝0或1时，ymax＝1. 故原函数的最大值是1，最小值是. 探究四　正切函数的周期性、奇偶性与对称性 规律总结 (1)正切函数y＝tan x的最小正周期是π，这与正弦函数、余弦函数不同．一般地，函数y＝Atan(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的周期为T＝. (2)正切函数是奇函数，正切函数的图象关于原点对称，并且有无穷多个对称中心，对称中心坐标是，k∈Z，正切函数的图象无对称轴，而正、余弦函数的图象既中心对称又轴对称． 【例题4】 (多选)关于