5.4.2 第2课时 正弦函数、余弦函数的单调性与最值（教师用书Word）-【状元桥·优质课堂】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版 2019）

第二课时　正弦函数、余弦函数的单调性与最值 [学习目标] 1.掌握y＝sin x，y＝cos x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值，强化数学运算的核心素养(重点).2.掌握y＝sin x，y＝cos x的单调性，并能利用单调性比较大小，强化逻辑推理的核心素养(重点).3.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间，强化数学运算的核心素养(难点).4.会求函数图象的对称中心或对称轴方程，强化直观想象的核心素养． 要点　正弦函数、余弦函数的性质 函数 y＝sin x y＝cos x 图象 定义域 R R 值域 [－1,1] [－1,1] 奇偶性 奇函数 偶函数 周期性 最小正周期：2π 最小正周期：2π 单调性 在(k∈Z)上单调递增； 在(k∈Z)上单调递减 在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上单调递增； 在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上单调递减 最值 当x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；当x＝－＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1 当x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；当x＝π＋2kπ (k∈Z)时，ymin＝－1 思考：正弦函数在定义域上单调递增，而余弦函数在定义域上单调递减，这种说法正确吗？ 提示　不正确．正弦函数在闭区间(k∈Z)上单调递增，并不是在整个定义域上单调递增．余弦函数在闭区间[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上单调递减，并不是在整个定义域上单调递减． 探究一　求正弦函数、余弦函数的单调区间 解题技巧 函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的单调区间的求法 (1)根据复合函数单调性原理，把ωx＋φ看成一个整体，由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)解出x的范围，所得区间即为单调递增区间，由2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)解出x的范围，所得区间即为单调递减区间． (2)对于函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＜0)，可先用诱导公式转化为y＝－Asin(－ωx－φ)，则y＝Asin(－ωx－φ)的单调递增区间即为原函数的单调递减区间，单调递减区间即为原函数的单调递增区间．余弦函数y＝Acos(ωx＋φ)的单调性讨论同上． (3)图象法，能画出图象的可以从图象上观察单调区间． 【例题1】 (1)函数y＝cos的单调递减区间为____. (2)函数y＝2sin(x∈[0，π])的单调递增区间是____. 解析　(1)由y＝cos＝cos＝cos，得2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)，解得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，所以函数的单调递减区间为(k∈Z)． (2)因为y＝2sin＝2sin＝－2sin，所以求原函数的单调递增区间，即为求y＝sin的单调递减区间，所以2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，所以kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.因为x∈[0，π]，所以只有k＝0时满足条件，所以≤x≤，即所求函数的单调递增区间为. 答案　(1)(k∈Z) (2) 【变式1】 (1)求函数y＝－2cos的单调区间． (2)求函数y＝|sin x|的单调递增区间． 解析　(1)令u＝2x＋，函数y＝2cos u在u∈[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z时单调递减，由2kπ≤2x＋≤2kπ＋π解得kπ－≤x≤kπ＋，故函数y＝－2cos的单调递增区间为，k∈Z. 函数y＝2cos u在u∈[2kπ－π，2kπ]，k∈Z时单调递增，由2kπ－π≤2x＋≤2kπ，得kπ－≤x≤kπ－，故函数y＝－2cos的单调递减区间为，k∈Z. (2)画出y＝|sin x|的图象(图略)可得，函数的单调递增区间为，k∈Z. 探究二　利用单调性比较三角函数值的大小 规律总结 比较三角函数值大小的步骤 (1)异名函数化为同名函数． (2)化两个三角函数值为同一单调区间上的两个三角函数值． (3)根据函数的单调性判断大小． 【例题2】 不求值，比较下列各组数的大小． (1)cos与cos ； (2)sin 3与sin(－4.5)； (3)sin 68°4′与cos 385°24′. 解析　(1)cos＝cos ＝cos＝cos ，cos ＝cos＝cos ， 因为0＜＜＜π，而余弦函数在(0，π)上单调递减， 所以cos ＞cos ，即cos＜cos . (2)sin(－4.5)＝sin(2π－4.5)， 因为2π－4.5－3＝2π－7.5＜0， 又因为2π－4.5－＝－4.5＝＞0， 所以＜2π－4.5＜3＜π， 而正弦函数在上单调递减， 所以sin(2π－4.5)＞sin 3， 即sin 3＜sin(－4.5)． (3)sin 68°4′＝cos(90°－68°4′)＝cos 21°56′， cos 385°24′＝cos(360°＋25°