5.4.2 第1课时 正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性（教师用书Word）-【状元桥·优质课堂】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版 2019）

5．4.2　正弦函数、余弦函数的性质 第一课时　正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性 [学习目标] 1.结合三角函数，了解周期性的概念和几何意义，培养数学抽象的核心素养.2.会求常见三角函数的周期，提升直观想象的核心素养(重点).3.通过图象直观理解奇偶性，能正确判断函数奇偶性，并利用奇偶性解决相关问题，提升逻辑推理和数学运算的核心素养(重点)． 要点一　函数周期性的有关概念 1．一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期． 2．如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 要点二　正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性 函数 y＝sin x y＝cos x 周期 2kπ(k∈Z且k≠0) 2kπ(k∈Z且k≠0) 最小正周期 2π 2π 奇偶性 奇函数 偶函数 要点三　最小正周期 当A≠0时，函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T＝.特别地，当ω＞0时，T＝. 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)任何周期函数都有最小正周期．(　　) (2)正弦函数y＝sin x的图象是轴对称图形，也是中心对称图形．(　　) (3)余弦函数y＝cos x是偶函数，图象关于y轴对称，对称轴有无数多条．(　　) (4)函数y＝sin x，x∈(－π，π]是奇函数．(　　) 提示　(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 探究一　正弦函数、余弦函数的周期 解题技巧 求三角函数的周期的方法 (1)如果题目中所涉及的周期不加特别说明，一般都是指函数的最小正周期． (2)求三角函数的周期，通常有三种方法： ①定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使f(x＋T)＝f(x)成立的T； ②公式法，对于y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，且A≠0，ω≠0)，T＝； ③观察法(图象法)，即作出y＝f(x)的图象，观察图象可求出T. 为了避免出现错误，求周期之前要尽可能将函数化为同名同角的三角函数，且函数的次数为1. 【例题1】 求下列函数的周期． (1)f(x)＝sin 2x； (2)f(x)＝2sin； (3)y＝3cos； (4)f(x)＝|sin x|. 解析　(1)因为ω＝2，所以T＝＝π. (2)因为ω＝，所以T＝＝4π. (3)因为|ω|＝3，所以T＝＝. (4)y＝|sin x|的图象如图所示． 所以周期T＝π. 【变式1】 求下列函数的周期． (1)y＝cos 2x；　(2)y＝3sin； (3)y＝sin；　(4)y＝|cos x|. 解析　(1)因为ω＝2，所以T＝＝π. (2)因为ω＝，所以T＝＝4π. (3)因为|ω|＝＝，所以T＝＝＝6π. (4)y＝|cos x|的图象如图所示． 所以周期T＝π. 探究二　正弦函数、余弦函数的奇偶性 规律总结 判断函数的奇偶性时，优先考虑函数的定义域．当定义域关于原点不对称时，该函数一定不具有奇偶性；当定义域关于原点对称时，能化简的先化简，再判断f(－x)与±f(x)的关系． 【例题2】 判断下列函数的奇偶性． (1)f(x)＝x·cos(π＋x)； (2)f(x)＝； (3)f(x)＝sin. 解析　(1)函数f(x)＝x·cos(π＋x)的定义域为R，关于原点对称． 因为f(x)＝xcos(π＋x)＝－xcos x， 所以f(－x)＝－(－x)·cos(－x)＝xcos x＝－f(x)，所以f(x)是奇函数． (2)函数应满足1＋sin x≠0， 所以函数的定义域为. 因为函数的定义域不关于原点对称， 所以该函数既不是奇函数也不是偶函数． (3)f(x)＝sin＝－cos 2x，定义域为R，关于原点对称． 因为f(－x)＝－cos(－2x)＝－cos 2x＝f(x)， 所以f(x)是偶函数． 【变式2】 判断下列函数的奇偶性． (1)f(x)＝cos； (2)f(x)＝lg. 解析　(1)函数的定义域为R，关于原点对称，且f(x)＝cos＝cos＝－sin 2x， 显然有f(－x)＝－f(x)恒成立． 所以函数f(x)＝cos为奇函数． (2)函数的定义域为R，关于原点对称． 因为f(－x)＝lg(－sin x＋) ＝lg ＝－lg(sin x＋) ＝－f(x)， 所以函数f(x)＝lg(sin x＋)为奇函数． 探究三　与函数周期有关的综合问题 高考拓展 (1)关于周期函数概念的理解应注意以下三点． ①存在一个不等于零的常数T； ②对于定义域内的每个值，都有x＋T属于这个定义域；