5.3 诱导公式（教师用书Word）-【状元桥·优质课堂】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版 2019）

5．3　诱导公式 [学习目标] 1.借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式，培养逻辑推理、直观想象的核心素养.2.记住诱导公式并能运用诱导公式进行求值、化简和证明，提升逻辑推理、数学运算的核心素养(重点)． 要点　诱导公式 1．公式一：sin(α＋k·2π)＝sin α，k∈Z； cos(α＋k·2π)＝cos α，k∈Z； tan(α＋k·2π)＝tan α，k∈Z. 公式二：sin(π＋α)＝－sin_α； cos(π＋α)＝－cos_α； tan(π＋α)＝tan_α. 公式三：sin(－α)＝－sin_α； cos(－α)＝cos_α； tan(－α)＝－tan_α. 公式四：sin(π－α)＝sin_α； cos(π－α)＝－cos_α； tan(π－α)＝－tan_α. 公式五：sin＝cos_α； cos＝sin_α. 公式六：sin＝cos_α； cos＝－sin_α. 2．利用公式五或公式六，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化．公式一～公式六都叫做诱导公式．六组诱导公式的记忆口诀为奇变偶不变，符号看象限.诱导公式可以统一概括为“k·±α(k∈Z)”的诱导公式，当k为偶数时，得α的同名函数值；当k为奇数时，得α的异名函数值，然后前面加一个把α看成锐角时原函数值的符号． 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)诱导公式中的角α一定是锐角．(　　) (2)口诀“符号看象限”指的是把角α看成锐角时原三角函数值的符号．(　　) (3)口诀中的“变”与“不变”是针对三角函数名而言的．(　　) (4)诱导公式既可以用弧度制表示，也可以用角度制表示．(　　) 提示　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 探究一　给角求值 规律总结 给角求值的解题步骤 (1)利用诱导公式可以将求任意角的三角函数值转化为求0°～90°角的三角函数值，步骤如下： ①若有负角，则将求负角的三角函数值转化为求正角的三角函数值问题； ②把求非负角的三角函数值问题转化为求0°～360°角的三角函数值问题； ③把求0°～360°角的三角函数值问题转化为求0°～90°角的三角函数值问题． (2)sin(nπ＋α)＝(－1)nsin α(n∈Z)； cos(nπ＋α)＝(－1)ncos α(n∈Z)． 【例题1】 求下列各三角函数值． (1)sin(－1 200°)；(2)tan 945°；(3)cos . 解析　(1)sin(－1 200°)＝sin[240°＋(－4)×360°]＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－. (2)tan 945°＝tan(225°＋2×360°)＝tan 225°＝tan(180°＋45°)＝tan 45°＝1. (3)cos ＝cos＝cos＝cos ＝. 【变式1】 求下列各三角函数值． (1)sincostan； (2)sin(－1 200°)tan 570°－cos 585°·tan(－1 665°)． 解析　(1)原式＝sincostan ＝costan＝costan ＝tan ＝－××1＝－. (2)原式＝－sin 1 200°tan(210°＋360°)－cos(360°＋225°)·(－tan 1 665°) ＝－sin(－240°＋4×360°)tan(30°＋180°)＋cos(45°＋180°)·tan(225°＋4×360°) ＝－sin(－240°)tan 30°－cos 45°tan(45°＋180°) ＝×sin(180°＋60°)－tan 45° ＝－×sin 60°－＝－. 探究二　给值求值 规律总结 诱导公式的应用中，利用互余(互补)关系求值是最常见的问题，一般解题步骤如下： (1)定关系：确定已知角与所求角之间的关系，常见的互余关系有－α与＋α，＋α与－α，＋α与－α等，常见的互补关系有＋α与－α，＋α与－α等． (2)定公式：依据确定的关系，选择要使用的诱导公式． (3)得结论：根据选择的诱导公式，得到已知值和所求值之间的关系，从而得到答案． 【例题2】 (1)已知sin＝，求cos的值． (2)已知cos(75°＋α)＝，求cos(105°－α)＋sin(15°－α)的值． 解析　(1)因为－α＋＋α＝，所以＋α＝－，所以cos＝cos＝sin＝. (2)因为(105°－α)＋(75°＋α)＝180°， (15°－α)＋(α＋75°)＝90°， 所以cos(105°－α)＝cos[180°－(75°＋α)] ＝－cos(75°＋α)＝－， sin(15°－α)＝sin[90°－(α＋75°)] ＝cos(75°＋α)＝， 所以cos(105°－α)＋sin(15°－α)＝－＋＝0. 【变式2】 (1)已知sin(π－α)＝a(－1＜a＜