5.2.2 同角三角函数的基本关系（教师用书Word）-【状元桥·优质课堂】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版 2019）

5．2.2　同角三角函数的基本关系 [学习目标] 1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用，提升逻辑推理和直观想象的核心素养.2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值和证明，提升数学运算和逻辑推理的核心素养(重难点)． 要点　同角三角函数的基本关系式 1．平方关系 同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，即sin2α＋cos2α＝1. 2．商数关系 同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切，即tan α＝，其中角α满足条件α≠kπ＋，k∈Z. 3．在解决实际问题中，常常需要用到两个基本关系式的如下变式： (1)sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α； (2)cos α＝，sin α＝tan_αcos_α. 0判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)因为sin2＋cos2＝1 ，所以sin2α＋cos2β＝1成立，其中α，β为任意角. (　　) (2)对任意角α，sin α＝cos αtan α都成立．(　　) (3)sin2＋cos2＝1.(　　) (4)对任意的角α，都有tan α＝成立．(　　) 提示　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 探究一　利用同角三角函数的基本关系式求值 误区防错 求三角函数值的注意点 (1)由已知角的正弦、余弦、正切中的一个值求出其余两个值，即“知一求二”是本节两个关系式最基本的应用．在求“平方根”时，要注意判断符号． (2)若角α所在的象限已经确定，求另两种三角函数值时，只有一组结果；若角α所在的象限不确定，要注意分类讨论，一般有两组结果． 【例题1】 已知sin α＝，且α是第二象限角，求cos α，tan α的值． 解析　因为α是第二象限角，所以cos α＜0，　 所以cos α＝－ ＝－＝－， 所以tan α＝＝－. 【变式1】 已知tan α＝2，求sin α，cos α的值． 解析　由tan α＝2>0知α是第一或第三象限角， 因为tan α＝＝2，所以sin α＝2cos α， 又sin2α＋cos2α＝1，所以4cos2α＋cos2α＝1， 所以cos2α＝. 当α为第一象限角时，cos α＝，sin α＝； 当α为第三象限角时，cos α＝－，sin α＝－. 探究二　齐次式求值问题 解题技巧 齐次式求值的方法 (1)已知角α的正切值，求由sin α和cos α构成的代数式的值，构成的代数式通常是分式或整式的齐次式(每一项的次数相同)． ①分式齐次式：因为cos α≠0，一般可在分子和分母中同时除以cosnα，使所求代数式化成关于tan α的代数式，从而得解． ②整式齐次式(一般与sin2α，cos2α，sin α·cos α相关)：把分母看作“1”，用sin2α＋cos2α替换“1”，从而把问题转化成分式齐次式，在分子和分母中同时除以cos2α，即可得到关于tan α的代数式，从而得解． (2)“sin α＋cos α”“sin α－cos α”“sin αcos α”可以知一求二．　 【例题2】 已知α满足tan α＝3，求下列各式的值． (1)； (2)sin2α＋2sin αcos α－3cos2α. 解析　(1)＝ ＝＝－. (2)sin2α＋2sin αcos α－3cos2α ＝ ＝ ＝ ＝＝. 【变式2】 已知tan α＝－，求下列各式的值． (1)； (2)； (3)2sin2α－sin αcos α＋cos2α. 解析　(1)＝ ＝＝. (2) ＝ ＝ ＝＝. (3)2sin2α－sin αcos α＋cos2α ＝ ＝ ＝＝. 【例题3】 已知sin α＋cos α＝，求下列各式的值． (1)sin αcos α；(2)sin α－cos α； (3)sin3α＋cos3α. 解析　(1)由sin α＋cos α＝，平方得2sin α·cos α＝－，所以sin αcos α＝－. (2)因为(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋＝， 所以sin α－cos α＝±. (3)因为sin3α＋cos3α ＝(sin α＋cos α)(sin2α－sin αcos α＋cos2α) ＝(sin α＋cos α)(1－sin αcos α)， 由(1)知sin αcos α＝－，且sin α＋cos α＝， 所以sin3α＋cos3α＝×＝×＝. 【变式3】 若sin α＋cos α＝，其中0<α<π，则tan α＝____. 解析　由sin α＋cos α＝， 得1＋2sin αcos α＝， 所以2sin αcos α＝－＜0. 又0＜α＜π，所以sin α＞0， 所以cos α＜0，所以＜α＜π， 所以sin α－cos α＞0， 又(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos