5.2.1 三角函数的概念（教师用书Word）-【状元桥·优质课堂】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版 2019）

5.2　三角函数的概念 5．2.1　三角函数的概念 [学习目标] 1.借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，培养数学抽象的核心素养.2.会利用角的终边上的点的坐标求角的正弦、余弦、正切，培养直观想象的核心素养(重点).3.掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号，培养逻辑推理的核心素养(重点).4.掌握公式一并会应用，培养数学运算的核心素养(重点)． 要点一　任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义 如图所示，设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆交于点P(x，y)，把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sin α，即y＝sin α；把点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cos α，即x＝cos α；把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做α的正切，记作tan α，即＝tan α(x≠0)．我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为：正弦函数y＝sin x，x∈R；余弦函数y＝cos x，x∈R；正切函数y＝tan x，x∈. 要点二　正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号 要点三　三角函数的公式一 终边相同的角的同一三角函数的值相等，即sin(α＋k·2π)＝sin α，cos(α＋k·2π)＝cos α，tan(α＋k·2π)＝tan_α，其中k∈Z. 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)三角函数值的大小与点P(x，y)在终边上的位置无关．(　　) (2)若sin α＞0，则α是第一或第二象限的角．(　　) (3)终边相同的角的同名三角函数值相等．(　　) (4)同一个三角函数值能找到无数个角与之对应．(　　) (5)终边不同的角的同名三角函数的值不相等．(　　) (6)若α是第二象限角，且P(x，y)是其终边上一点，则cos α＝－.(　　) 提示　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√　(5)×　(6)× 探究一　任意角的三角函数 规律总结 利用三角函数的定义求一个角的三角函数值有以下几种情况： (1)若已知角，则只需确定出该角的终边与单位圆的交点坐标，即可求出各三角函数值； (2)若已知角α终边上一点P(x，y)(x≠0)是单位圆上的点，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝； (3)若已知角α终边上一点P(x，y)(x≠0)不是单位圆上的点，则sin α＝，cos α＝，tan α＝(r＝)； (4)若已知角α终边上点的坐标含参数，则需对其所在象限进行分类讨论． 【例题1】 求角的三个三角函数值． 解析　如图，在角的终边上任取一个异于原点的点M(x，y)，过点M向x轴作垂线，垂足为N，则|ON|＝－x，|NM|＝y，∠MON＝，所以|OM|＝2|ON|，|NM|＝|ON|. 由三角函数的定义得sin＝＝＝， cos＝＝－＝－， tan＝＝－＝－. 【变式1】 已知角α的终边落在直线y＝－3x上，求2sin α＋3cos α的值． 解析　设角α的终边与单位圆交于点P(x，y)，|OP|＝1，则 解得或 所以或 于是2sin α＋3cos α＝－或2sin α＋3cos α＝. 探究二　三角函数值符号的判断 解题技巧 判断三角函数值符号的口诀 口诀为“一全正、二正弦、三正切、四余弦”，其意思是第一象限中各种三角函数值全是正数；第二象限中正弦值为正数；第三象限中正切值为正数；第四象限中余弦值为正数．三角函数值的符号是由三角函数定义推导出来的，如果遗忘可以通过定义推导． 【例题2】 判断下列各式的符号． (1)tan 191°－cos 191°；(2)sin 2cos 3tan 4. 解析　(1)因为191°是第三象限角， 所以tan 191°＞0，cos 191°＜0，所以tan 191°－cos 191°＞0. 所以tan 191°－cos 191°为正． (2)因为＜2＜π，＜3＜π，π＜4＜， 所以2是第二象限角，3是第二象限角，4是第三象限角， 所以sin 2＞0，cos 3＜0，tan 4＞0， 所以sin 2cos 3tan 4＜0. 所以sin 2cos 3tan 4为负． 【变式2】 (1)若α是第三象限角，且满足＝－sin ，则所在的象限是(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 (2)设α的终边经过点P，则点Q(sin α，tan α)所在的象限是___________________． 解析　(1)由π＋2kπ＜α＜＋2kπ(k∈Z)，得＋kπ＜＜＋kπ(k∈Z)，因此是第二或第四象限角．又－sin ＝≥0，故sin ≤0，综上知是第四象限角．故选D项． (2)因为是第二象限角，所以cos ＜0，tan ＜0，所以点P是第三象限的点，所以α是第三象限角，所以sin α＜0，tan α＞0，所以点Q在