5.1.2 弧度制（教师用书Word）-【状元桥·优质课堂】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版 2019）

5．1.2　弧度制 [学习目标] 1.了解弧度制，能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性，提升数学抽象的核心素养.2.理解“1弧度的角”的定义，掌握弧度制与角度制的换算、弧长公式和扇形面积公式，熟悉特殊角的弧度数，提升逻辑推理和数学运算的核心素养(重难点)． 要点一　度量角的单位制 1．度量角的两种单位制 单位制 概念 角度制 1度的角等于周角的，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制 弧度制 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度；以弧度为单位来度量角的单位制叫做弧度制 2.弧度数的概念与计算 (1)弧度数 ①正角的弧度数是一个正数. ②负角的弧度数是一个负数. ③零角的弧度数是0. (2)弧度数的计算 |α|＝，如图所示． 要点二　角度制与弧度制的换算 1．角度与弧度的互化 角度化弧度 弧度化角度 360°＝2π rad 2π rad＝360° 180°＝π rad π rad＝180° 1°＝rad≈0.017_45rad 1 rad＝°≈57.30° 2.一些特殊角的度数与弧度数的对应关系 度 0° 1° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧度 0 π 2π 思考：(1)角α＝1这种表达方式正确吗？单位长度的弧长所对的圆心角是1弧度吗？ (2)对于角度制和弧度制，在具体的应用中，两者可混用吗？如何书写才是规范的？ 提示　(1)正确，用弧度制表示角时，“弧度”二字或“rad”通常略去不写，角α＝1就表示α是1 rad的角．不一定，只有在以单位长度为半径的圆中，单位长度的弧所对的圆心角才是1弧度的角． (2)角度制与弧度制是两种不同的度量制度，在表示角时不能混用，例如α＝k·360°＋(k∈Z)，β＝2kπ＋60°(k∈Z)等写法都是不规范的，应写为α＝k·360°＋30°(k∈Z)，β＝2kπ＋(k∈Z)． 要点三　扇形的弧长及面积公式 设圆的半径为R，弧长为l，α(0＜α＜2π)为其圆心角，S是扇形的面积，则 度量单位 类别 α为角度制(对应n°) α为弧度制 扇形的弧长 l＝ l＝αR 扇形的面积 S＝πR2 S＝lR＝αR2 探究一　角度与弧度的互化 规律总结 不管是以“弧度”还是以“度”为单位的角，其大小都是一个与半径大小无关的定值．以弧度为单位表示角的大小时，“弧度”两字可以省略不写，如π＝180°是指π弧度＝180°，但如果以度(°)为单位表示角时，度(°)不能省去．以弧度为单位表示角时，常常把弧度数写成多少π的形式，如无特殊要求，不必把π写成小数，如45°＝弧度，不必写成45°≈0.785弧度． 【例题1】 设α1＝510°，α2＝－750°，β1＝，β2＝－. (1)将α1，α2用弧度表示出来，并指出它们各自终边所在的象限； (2)将β1，β2用角度表示出来，并在[－360°，360°)内找出与它们终边相同的所有的角． 解析　(1)因为1°＝ rad，所以α1＝510°＝510×＝，α2＝－750°＝－750×＝－. 所以α1的终边在第二象限，α2的终边在第四象限． (2)β1＝＝°＝144°. 设θ1＝k·360°＋144°(k∈Z)． 因为－360°≤θ1＜360°， 所以－360°≤k·360°＋144°＜360°. 所以k＝－1或k＝0. 所以在[－360°，360°)内与β1终边相同的角是－216°角． β2＝－＝°＝－330°. 设θ2＝k·360°－330°(k∈Z)． 因为－360°≤θ2＜360°， 所以－360°≤k·360°－330°＜360°. 所以k＝0或k＝1. 所以在[－360°，360°)内与β2终边相同的角是30°角． 【变式1】 (多选)下列转化结果正确的是(　　) A．67°30′化成弧度是 B．－化成角度是－600° C．－150°化成弧度是－ D.化成角度是105° 答案　ABD 解析　对于A项，67°30′＝67.5°×＝，正确；对于B项，－＝－×＝－600°，正确；对于C项，－150°＝－150°×＝－，错误；对于D项，＝×＝105°，正确．故选ABD项． 探究二　用弧度表示有关角 规律总结 用弧度可以表示单个角，也可以表示一类角，例如，终边相同的角，某一象限、某一范围内的角．用弧度制表示以下结论： (1)对称关系 若α与β的终边关于x轴对称，则α＋β＝2kπ，k∈Z； 若α与β的终边关于y轴对称，则α＋β＝(2k＋1)π，k∈Z； 若α与β的终边关于原点对称，则α－β＝(2k＋1)π，k∈Z. (2)终边相同的角 与α终边相同的