5.1.1 任意角（教师用书Word）-【状元桥·优质课堂】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版 2019）

第五章　三角函数 5．1　任意角和弧度制 5．1.1　任意角 [学习目标] 1.了解任意角的概念，区分正角、负角与零角，培养数学抽象和直观想象的核心素养(重点).2.理解并掌握终边相同的角的概念，能写出终边相同的角所组成的集合，培养逻辑推理和数学运算的核心素养(重点).3.了解象限角的概念，培养逻辑推理和数学运算的核心素养． 要点一　角的有关概念 有关概念 描述 定义 角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形 图示 如图，圆心O为射线的端点，射线OA为角α的始边， 射线OP为角α的终边 记法 角α或∠α，简记为α 要点二　任意角的分类 名称 定义 正角 一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角 负角 一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角 零角 一条射线没有做任何旋转形成的角 思考：(1)如果一个角的终边和始边重合，那么这个角一定是零角吗？ (2)角的概念推广后角的范围有怎样的变化？ 提示　(1)不一定，若角的终边未做旋转，则这个角是零角；若角的终边做了旋转，则这个角不是零角． (2)角的概念推广后，角的范围不局限于0°～360°，而是任意的角，包括正角、负角和零角． 要点三　角的运算 1．若两角α，β的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称α＝β. 2．设α，β是任意两个角，我们规定，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α＋β. 3．相反角：把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角，角α的相反角记为－α，于是有α－β＝α＋(－β)，这样角的减法可以转化为角的加法． 要点四　象限角 若角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限． 要点五　终边相同的角 设α表示任意角，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和． 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)第一象限角是锐角．(　　) (2)一条射线绕端点旋转，旋转的圈数越多，则这个角越大．(　　) (3)终边相同的角的表示不唯一．(　　) (4)角α与－α的终边关于x轴对称．(　　) 提示　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 探究一　角的概念 误区防错 注意正确区分不同的角 角的概念推广后就不能局限在0°到360°内考虑问题，要考虑所有满足题意的角．在解题时要注意正确区分象限角、锐角、直角、钝角等容易混淆的角．例如，锐角是大于0°小于90°的正角，直角是90°的角，钝角是大于90°而小于180°的正角，平角是180°的角．不可错误地认为小于90°的角是锐角． 【例题1】 下列结论： ①三角形的内角必是第一、二象限角； ②始边相同而终边不同的角一定不相等； ③第四象限角一定是负角； ④钝角比第三象限角小； ⑤第二象限角是钝角； ⑥小于180°的角是钝角、直角或锐角． 其中正确结论的序号为____. 解析　①90°的角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故①不正确；②始边相同而终边不同的角一定不相等，故②正确；③300°的角是第四象限角但不是负角，故③不正确；④钝角是大于－100°的角，而－100°的角是第三象限角，故④不正确；⑤480°的角是第二象限角，但它不是钝角，故⑤不正确；⑥0°的角小于180°的角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故⑥不正确． 答案　② 【变式1】 若将一钟表上的时间拨慢5分钟，则时针转了多少度？分针转了多少度？若将时间拨快1小时呢？ 解析　拨慢钟表即使表针作逆时针旋转，此时所得到的角是正角． 因为分针60分钟转过一周，对应的圆心角为周角360°， 所以5分钟转过的圆心角为×360°＝30°， 所以分针转了30°， 又5分钟对应＝小时，时针转30°为1小时， 所以时针转了×30°＝2.5°. 同理，将时间拨快1小时，时针转了－30°，分针转了－360°. 探究二　象限角和终边相同的角 规律总结 (1)判断象限角的步骤 ①当0°≤α＜360°时，直接写出结果； ②当α＜0°或α≥360°时，将α化为k·360°＋β(k∈Z,0°≤β＜360°)，转化为判断角β所属的象限． (2)与角α终边相同的角的一般形式是β＝α＋k·360°(k∈Z)，其中几个要点要理解：①k∈Z，其含义是整数倍；②α是任意角；③终边相同的角不一定相等，例如30°，390°，－330°，－690°等，它们的终边是相同的，但是它们不相等，而相等的角的终边一定相同；④终边相同的角有无数多个，由于它们的终边相同，所以终边相同的角有许多相同的性质. 表示方法 终边位置 角度制表示 x轴的非