第5章 三角函数 章末复习方案（教师用书Word）-【状元桥·优质课堂】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版 2019）

章末复习方案 探究一　三角函数的定义 1．利用三角函数的定义求三角函数值(或参数值)时，需要确定角终边上异于原点的任意一点P的坐标，及点P到原点的距离．任意角的三角函数值仅与角α的终边位置有关，而与角α终边上点P的位置无关．若角α已经给出，则无论点P在α终边上的什么位置，角α的三角函数值都是确定的． 2．弧度制下扇形的弧长与面积公式比角度制下扇形的弧长与面积公式要简洁得多，用起来也方便得多．因此我们要熟练地掌握弧度制下扇形的弧长与面积公式． 3．利用单位圆解三角不等式(组)的一般步骤是：用边界值定出角的终边位置；根据不等式(组)定出角的范围；求交集，找单位圆中公共的部分；写出角的表达式． 【真题1】 (1)(2021·北京)若点P(cos θ，sin θ)与点Q关于y轴对称，写出一个符合题意的θ值为____. (2)若一个扇形的周长与面积的数值相等，则该扇形所在圆的半径可能为____(答案不唯一)． 解析　(1)因为P(cos θ，sin θ)与Q关于y轴对称，即θ，θ＋关于y轴对称，θ＋＋θ＝π＋2kπ，k∈Z，则θ＝kπ＋，k∈Z，当k＝0时，符合题意的θ值为. (2)设扇形的半径为R，圆心角α(0＜α＜2π)，则2R＋Rα＝R2α，即2＋α＝Rα，整理得R＝2＋，因为＞0，所以R＞2，所以R可取3. 答案　(1)(答案不唯一)　(2)3 探究二　三角函数的化简、求值 三角函数的化简与求值就是利用所学的同角三角函数关系式、诱导公式，以及和、差、倍、半角的三角公式来进行恒等变形的过程．一般方法是，从分析函数式中所含的角度差异、函数名称差异、结构差异等入手，选择适当的公式进行相关变形，以达到化异角为同角、化异名为同名、去异存同的目的．从某种意义来讲，无论是化简还是求值，其选择的变形目标都是“化繁为简”． 【真题2】 (1)(2021·全国乙)cos2－cos2＝(　　) A. B． C. D． (2)(2022·新高考Ⅱ)角α，β满足sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝2cossin β，则(　　) A．tan(α＋β)＝1 B．tan(α＋β)＝－1 C．tan(α－β)＝1 D．tan(α－β)＝－1 (3)(2021·全国甲)若α∈，tan 2α＝，则tan α＝(　　) A. B． C. D． (4)(2021·新高考Ⅰ)若tan θ＝－2，则＝(　　) A．－ B．－ C. D． 解析　(1)cos2－cos2＝cos2－cos2＝cos2－sin2＝cos ＝.故选D项． (2)由已知得sin αcos β＋cos αsin β＋cos α·cos β－sin αsin β＝2(cos α－sin α)sin β，即sin αcos β－cos αsin β＋cos αcos β＋sin αsin β＝0，即sin(α－β)＋cos(α－β)＝0，所以tan(α－β)＝－1.故选D项． (3)由题意得tan 2α＝＝＝，因为α∈，所以cos α≠0，所以＝，解得sin α＝，所以cos α＝＝，所以tan α＝＝.故选A项． (4)＝＝sin θ·(sin θ＋cos θ)＝＝＝＝.故选C项． 答案　(1)D　(2)D　(3)A　(4)C 探究三　三角函数的图象 1．“五点法”作图的关键是正确确定五个点，然后列表、描点、连线即可． 2．变换法作图象关键看x轴上是“先平移后伸缩”还是“先伸缩后平移”，对于后者可利用ωx＋φ＝ω来确定平移单位，原则是所有变换都要作用在“x”上． 3．求函数y＝Asin(ωx＋φ)＋h的解析式这类题目一般是先根据函数图象的最高点、最低点确定A，h的值，函数的周期确定ω的值，再根据函数图象上的一个特殊点确定φ的值． 【真题3】 (1)(2022·全国甲)为了得到函数y＝2sin 3x的图象，只要把函数y＝2sin图象上所有的点(　　) A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 (2)(2021·全国甲改编)已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)(ω>0)的部分图象如图所示，则f＝(　　) A．－3 B．－ C． D．3 (3)(2022·全国甲)函数y＝(3x－3－x)cos x在区间的图象大致为(　　) 解析　(1)因为y＝2sin 3x＝2sin，所以把函数y＝2sin图象上的所有点向右平移个单位长度即可得到函数y＝2sin 3x的图象．故选D项． (2)由题意可得T＝－＝，所以T＝π，又ω>0，所以ω＝＝2，由点在f(x)图象上得2×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，解得φ＝－＋2kπ(k∈Z)，所以f(x)＝2cos＝2cos，所以f＝2cos＝2cos＝－.故选B项． (3)令f(x)＝(3x－3－x