3.3 幂函数（教师用书Word）-【状元桥·优质课堂】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版 2019）

3．3　幂函数 [学习目标] 1.通过具体实例，结合y＝x，y＝，y＝x2，y＝，y＝x3的图象，理解他们的变化规律，了解幂函数，培养数学抽象的核心素养(重点).2.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数的有关问题，培养逻辑推理和直观想象的核心素养． 要点一　幂函数的概念 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 要点二　幂函数的图象与性质 1．五种幂函数的图象与性质 幂函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x-1 图象 定义域 R R R [0，＋∞) (－∞，0)∪ (0，＋∞) 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) (－∞，0)∪ (0，＋∞) 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 单调 递增 x∈[0，＋∞)时，单调递增x∈(－∞，0]时，单调递减 单调 递增 单调 递增 x∈(0，＋∞)时，单调递减x∈(－∞，0)时，单调递减 定点 (0，0) (1，1) (0，0) (1，1) (0，0) (1，1) (0，0) (1，1) (1，1) (－1，－1) 2.一般幂函数的图象特征 (1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1，1)． (2)当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸． (3)当α<0时，幂函数在区间(0，＋∞)上单调递减． (4)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称． (5)在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列． 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)当幂指数α取1，3，时，幂函数y＝xα在定义域上单调递增．(　　) (2)当幂指数α＝－1时，幂函数y＝xα在定义域上单调递减．(　　) (3)当α＝0时，幂函数y＝xα的图象是一条直线.(　　) (4)若幂函数y＝xα的图象关于原点对称，则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大．(　　) 提示　(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 探究一　幂函数的概念 规律总结 幂函数y＝xα要满足三个特征：①系数为1；②底数是自变量x，指数是常数α；③项数为1.只有同时满足这三个特征，才是幂函数．这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准． 【例题1】 (1)下列函数：①y＝3x2；②y＝x2＋1；③y＝－；④y＝； ⑤y＝.其中是幂函数的为____． (2)若函数y＝(m2－m－1)x2m-1为幂函数，则实数m的值为____． 解析　(1)由幂函数的定义及三个限制条件可知，y＝3x2中x2的系数为3，不是幂函数；函数y＝x2＋1的项数不为1，不是幂函数；y＝－中x-1的系数是－1，不是幂函数；y＝是幂函数；y＝是幂函数．因此是幂函数的为④⑤. (2)因为函数y＝(m2－m－1)x2m-1为幂函数，所以m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1. 答案　(1)④⑤　(2)2或－1 【变式1】 (1)若幂函数y＝f(x)的图象过点，则该函数的解析式为____． (2)已知函数f(x)＝ax2a+1＋b＋1是幂函数，则a＋b＝____． 解析　(1)设f(x)＝xα，由图象过点，得＝2α，则α＝－2，即函数的解析式为y＝x-2. (2)依题意，因为函数f(x)＝ax2a+1＋b＋1是幂函数，所以即所以a＋b＝0. 答案　(1)y＝x-2　(2)0 探究二　幂函数的定义域和值域 规律总结 求幂函数的定义域和值域的方法 幂函数的定义域和值域要根据解析式来确定，要保证解析式有意义，值域要在定义域范围内求解．其中，幂函数的定义域由幂指数α确定． (1)当幂指数取正整数时，定义域为R. (2)当幂指数取零或负整数时，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞). (3)当幂指数取分数时，可以化成根式，利用根式的要求求定义域． 【例题2】 求下列函数的定义域和值域． (1)y＝；(2)y＝． 解析　(1)函数解析式化为y＝，所以所求的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为(0，＋∞). (2)因为y＝＝，所以所求的定义域为(0，＋∞)，值域为(0，＋∞). 【变式2】 求下列函数的定义域和值域． (1)y＝；(2)y＝－；(3)y＝． 解析　(1)函数解析式化为y＝，所以所求函数的定义域为R，值域为[0，＋∞). (2)函数解析式化为y＝－，所以所求函数的定义域为{x|x≠0}，值域为{y|y≠0}． (3)函数解析式化为y＝，所以所求函数的定义域为(0，＋∞)，值域为(0，＋∞). 探究三　幂函数的图象及应用 规