3.2.2 第2课时 函数奇偶性的应用（教师用书Word）-【状元桥·优质课堂】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版 2019）

第二课时　函数奇偶性的应用 [学习目标] 1.会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题，发展直观想象的核心素养.2.掌握用奇偶性求解析式的方法，强化逻辑推理和数学运算的核心素养(重点).3.理解奇偶性对单调性的影响并能用以比较大小，求最值和解不等式，强化逻辑推理和数学运算的核心素养(难点)． 要点一　奇函数、偶函数的图象 1．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；反之图象关于原点对称的函数一定是奇函数，图象关于y轴对称的函数一定是偶函数. 2．由于奇、偶函数的图象具有某种对称性，因此研究奇、偶函数时，为方便起见，往往只需研究它在y轴右侧部分的性质，就能根据对称性得到该函数在y轴左侧部分的性质，从而得到整个定义域内的函数性质． 要点二　函数奇偶性与单调性(最值)之间的关系 1．若奇函数f(x)在[a，b]上单调递增(减)，且有最大值M，最小值N，则f(x)在[－b，－a]上单调递增(减)，且有最小值－M，最大值－N. 2．若偶函数f(x)在[a，b]上单调递增(减)，且有最大值M，最小值N，则f(x)在[－b，－a]上单调递减(增)，且有最大值M，最小值N. 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)奇函数的图象一定过原点．(　　) (2)偶函数的图象与x轴交点的个数一定是偶数．(　　) (3)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性一致，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．(　　) (4)奇函数在定义域内一定有最大值和最小值．(　　) 提示　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 探究一　利用函数的奇偶性求解函数图象问题 规律总结 (1)依据：奇、偶函数图象的对称性，奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于y轴对称． (2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求函数值或画出奇、偶函数图象的问题． 【例题1】 设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，当x∈[0,5]时，函数y＝f(x)的图象如图所示． 作出函数在[－5,0]上的图象，并求使函数值y<0的x的取值集合． 解析　由于函数是奇函数，所以y＝f(x)在[－5，5]上的图象关于坐标原点对称，由y＝f(x)在[0,5]上的图象，知它在[－5,0]上的图象，如图所示．由图象知，使函数值y<0的x的取值集合为(－2,0)∪(2,5)． 【变式1】 设偶函数f(x)的定义域为[－6,6]，若当x∈[0,6]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集是________. 解析　利用偶函数的图象关于y轴对称，画出函数的草图如图所示，根据图象观察可知不等式f(x)＜0的解集为(－6，－3)∪(3,6)． 答案 (－6，－3)∪(3,6) 探究二　利用函数的奇偶性求函数解析式 规律总结 (1)已知函数奇偶性及其区间上的解析式，求该函数在整个定义域上的解析式的步骤：①求谁设谁，求哪个区间的解析式，x就设在哪个区间内；②要利用已知区间的解析式进行代入；③利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)． (2)奇函数f(x)的定义域内含0，则必有f(0)＝0，但f(x)若为偶函数，则未必有f(0)＝0. (3)当已知两函数之间的关系式，求解这两个函数的解析式时可使用方程组法求解，就是根据已知条件，建立有关变量与常量之间的关系，通过解方程(组)得到函数的解析式． 【例题2】 (1)若f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x(1－x)，求函数f(x)的解析式． (2)设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝，求函数f(x)，g(x)的解析式． 解析　(1)①当x＝0时，由f(－x)＝－f(x)得f(0)＝0； ②当x<0时，－x>0， 所以f(－x)＝(－x)[1－(－x)]， 又因为f(－x)＝－f(x)， 所以－f(x)＝(－x)(1＋x)， 所以f(x)＝x(1＋x)． 所以函数f(x)的解析式为f(x)＝ (2)因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，所以f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，用－x代替x，由f(x)＋g(x)＝　①，得f(－x)＋g(－x)＝，所以f(x)－g(x)＝　②，(①＋②)÷2，得f(x)＝；(①－②)÷2，得g(x)＝. 所以函数f(x)，g(x)的解析式分别为f(x)＝，g(x)＝. 【变式2】 (1)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且x>0时，f(x)＝x|x－2|，求f(x)的解析式． (2)设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋2x，求函数f(x)，g(x)的解析式． 解析　(1)x<0时，－x>0， 则f(－x)＝－x|－x－2|＝－x|x＋2|， 又f(x)为奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝x|x＋2|，