3.2.2 第1课时 函数奇偶性的概念（教师用书Word）-【状元桥·优质课堂】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版 2019）

3．2.2　奇偶性 第一课时　函数奇偶性的概念 [学习目标] 1.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义，培养数学抽象的核心素养.2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法，提升逻辑推理和数学运算的核心素养(重点)． 要点一　偶函数、奇函数的定义 1．一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数. 2．一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数. 要点二　判断函数奇偶性的变形技巧 当f(x)的函数值恒不为零时，若对于定义域内的任意一个x，都有＝1或f(－x)－f(x)＝0，那么这个函数就是偶函数；若对于定义域内的任意一个x，都有＝－1或f(－x)＋f(x)＝0，那么这个函数就是奇函数． 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)奇、偶函数的定义域都关于原点对称．(　　) (2)对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函数．(　　) (3)若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数，就是偶函数．(　　) (4)不存在既是奇函数又是偶函数的函数．(　　) 提示　(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 探究一　简单函数的奇偶性判断 解题技巧 函数奇偶性的判断方法 (1)定义法： (2)图象法：若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数的图象关于y轴对称，则函数为偶函数．此法多用在选择、填空题中． 【例题1】 判断下列函数的奇偶性． (1)f(x)＝x3＋3x，x∈[－4,4)； (2)f(x)＝； (3)f(x)＝－； (4)f(x)＝·. 解析　(1)因为定义域不关于坐标原点对称，即－4∈[－4,4)，而4∉[－4,4)，所以f(x)＝x3＋3x，x∈[－4,4)既不是奇函数也不是偶函数． (2)定义域关于原点对称，且f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以f(x)＝是奇函数． (3)定义域为R，关于原点对称，且f(－x)＝－＝－＝－(－)＝－f(x)， 所以f(x)＝|x－2|－|x＋2|是奇函数． (4)定义域为[1，＋∞)，不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数． 【变式1】 判断下列函数的奇偶性． (1)f(x)＝； (2)f(x)＝x2－x3； (3)f(x)＝|x|. 解析　(1)因为函数f(x)＝的定义域为{x|x∈R，且x≠1}，定义域不关于原点对称，所以该函数既不是奇函数也不是偶函数． (2)f(x)的定义域为R，关于原点对称．因为f(－x)＝(－x)2－(－x)3＝x2＋x3，又－f(x)＝－x2＋x3，所以f(－x)≠f(x)，且f(－x)≠－f(x)．故f(x)＝x2－x3既不是奇函数也不是偶函数． (3)函数f(x)＝|x|的定义域为R，关于原点对称．因为f(－x)＝|－x|＝|x|＝f(x)，所以f(x)＝|x|是偶函数． 探究二　分段函数的奇偶性判断 解题技巧 判断分段函数奇偶性的方法 (1)一般用定义法分段处理．分段函数的奇偶性应分段说明f(－x)与f(x)的关系，只有当对称区间上的对应关系满足同样的关系时，才能判断函数的奇偶性，否则该分段函数既不是奇函数也不是偶函数．要特别注意，若x∈[a，b]，－x∈[－b，－a]，在求f(－x)时，需代入区间[－b，－a]上的解析式． (2)分段函数的奇偶性也可通过图象的对称性加以判断． 【例题2】 已知函数f(x)＝判断f(x)的奇偶性． 解析　函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． ①当x<0时，－x>0，f(－x)＝－(－x)2＋(－x)－1＝－x2－x－1＝－(x2＋x＋1)＝－f(x)； ②当x>0时，－x<0，f(－x)＝(－x)2＋(－x)＋1＝－(－x2＋x－1)＝－f(x)． 综上可知，f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数． 【变式2】 判断函数f(x)＝的奇偶性． 解析　函数f(x)的定义域为R，关于原点对称． ①当x>0时，－x<0，f(－x)＝－x－2＝f(x)； ②当x<0时，－x>0，f(－x)＝－(－x)－2＝x－2＝f(x)； ③当x＝0时，f(－x)＝0＝f(x)． 综上，f(－x)＝f(x)，所以f(x)是偶函数． 探究三　抽象函数的奇偶性判断 高考拓展 (1)抽象函数奇偶性的判断通常用定义法，主要是充分运用所给条件，寻找f(x)与f(－x)之间的关系，此类题目常用到f(0)，可通过给式子中的变量赋值，构造出0，把f(0)求出来． (2)在公共定义域内，偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数，奇函数的和、差仍为奇函数，两个奇函数的积(商)为偶函数，一个奇函数与一个偶函数