3.2.1 第2课时 函数的最大值、最小值（教师用书Word）-【状元桥·优质课堂】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版 2019）

第二课时　函数的最大值、最小值 [学习目标] 1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义，强化数学抽象的核心素养.2.会借助单调性求最值，强化逻辑推理和数学运算的核心素养(难点).3.掌握求二次函数在闭区间上的最值的方法，强化逻辑推理和数学运算的核心素养(重点)． 要点　函数的最值 1．最大值 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足： (1)∀x∈D，都有f(x)≤M； (2)∃x0∈D，使得f(x0)＝M. 那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值． 2．最小值 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数m满足： (1)∀x∈D，都有f(x)≥m； (2)∃x0∈D，使得f(x0)＝m. 那么，我们称m是函数y＝f(x)的最小值． 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)函数f(x)取最大值时，对应的x可能有无限多个．(　　) (2)任何函数f(x)都有最大值和最小值．(　　) (3)若函数f(x)在区间[a，b]上单调递增，则f(x)在区间[a，b]上的最小值是f(a)，最大值是f(b)．(　　) (4)函数图象最高点的纵坐标为该函数的最大值，函数图象最低点的纵坐标为该函数的最小值．(　　) 提示　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√ 探究一　利用图象法求函数的最值 规律总结 图象法求最值的一般步骤 【例题1】 已知函数f(x)＝则f(x)的最大值和最小值分别是________. 解析　作出f(x)的图象，如图所示． 由图象可知，当x＝±1时，f(x)取最大值为1. 当x＝0时，f(x)取最小值为0， 故f(x)的最大值为1，最小值为0. 答案 1,0 【变式1】 用min{a，b}表示a，b两个数中的较小值，设f(x)＝min{x＋2,10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为____. 解析　在同一平面直角坐标系中画出函数y＝x＋2和y＝10－x的图象．解方程x＋2＝10－x得x＝4，此时y＝6，故两图象的交点为(4,6)． 根据min{x＋2,10－x}(x≥0)的含义可知，f(x)＝所以函数f(x)的图象为图中实线部分． 观察图象知，两图象的交点(4,6)即为f(x)图象的最高点，故f(x)的最大值为6. 答案 6 探究二　利用单调性求函数的最值 规律总结 函数的最值与单调性的关系 (1)如果函数y＝f(x)在区间(a，b]上单调递增，在区间[b，c)上单调递减，则函数y＝f(x)，x∈(a，c)在x＝b处有最大值f(b)． (2)如果函数y＝f(x)在区间(a，b]上单调递减，在区间[b，c)上单调递增，则函数y＝f(x)，x∈(a，c)在x＝b处有最小值f(b)． (3)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增(减)，则在区间[a，b]的左、右端点处分别取得最小(大)值和最大(小)值． 【例题2】 求函数y＝在x∈[2,3]上的最值． 解析　函数y＝＝＝1＋. 设2≤x1<x2≤3， 则f(x1)－f(x2)＝－＝. 因为2≤x1<x2≤3，所以x2－x1>0，x1－1>0，x2－1>0. 所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)． 所以函数y＝在[2,3]上单调递减． 所以f(x)min＝f(3)＝＝， f(x)max＝f(2)＝＝4. 【变式2】 已知函数f(x)＝x2＋. (1)用定义证明函数f(x)在(1，＋∞)上是严格增函数； (2)设函数g(x)＝f(x2＋1)，x∈[0,2]，求g(x)的值域． 解析　(1)∀x1，x2∈(1，＋∞)，x1<x2， f(x1)－f(x2)＝x＋－x－＝(x1＋x2)·(x1－x2)＋＝(x1－x2)，因为x1，x2∈(1，＋∞)，x1<x2，所以x1－x2<0，x1＋x2>2，x1x2>1， 所以<2，所以(x1＋x2)－>0， 所以(x1－x2)<0，所以f(x1)<f(x2)， 所以函数y＝f(x)在(1，＋∞)上是严格增函数． (2)设t＝x2＋1，因为x∈[0,2]，所以t∈[1,5]，由(1)得f(t)＝t2＋，t∈[1,5]单调递增， 所以f(1)≤f(t)≤f(5)，即3≤f(t)≤， 所以g(x)＝f(x2＋1)的值域为. 探究三　求二次函数的最值 解题技巧 二次函数最值的求法 (1)探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出y＝f(x)的草图，然后根据图象判断函数的单调性．特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得． (2)二次函数图象的对称轴与定义域区间的位置通常有三种关系：①对称轴在定义域的右侧；②对称轴在定义域的左侧；③对称轴在定义域区间内．