3.2.1 第1课时 函数的单调性（教师用书Word）-【状元桥·优质课堂】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版 2019）

3．2　函数的基本性质 3．2.1　单调性与最大(小)值 第一课时　函数的单调性 [学习目标] 借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性，并理解其作用和实际意义，培养数学抽象、直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养(重点)． 要点一　定义域为D的函数f(x)的单调性 要点二　函数的单调区间 如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间. 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)如果f(x)在区间[a，b]和(b，c]上都单调递增，则f(x)在区间[a，c]上单调递增．(　　) (2)函数f(x)的定义域为D，如果定义域内某个区间I上存在两个自变量x1，x2，当x1<x2时，有f(x1)<f(x2)，则f(x)在区间I上单调递增．(　　) (3)若f(x)在区间I上单调递减，则在此区间上函数值随自变量的增大而减小．(　　) (4)若函数y＝f(x)在区间I上单调递增，则函数y＝－f(x)在区间I上单调递减．(　　) 提示　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 探究一　证明或判断函数单调性 规律总结 证明或判断函数单调性的步骤 【例题1】 已知函数f(x)＝＋1，满足f(－2)＝0. (1)求实数a的值； (2)试判断此函数f(x)在(0，＋∞)上的单调性并利用定义给予证明． 解析　(1)f(－2)＝＋1＝0，解得a＝2. (2)函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，理由如下： 任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝＋1－－1＝， 因为x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2，所以x1x2>0，x2－x1>0， 所以f(x1)－f(x2)＝>0， 即f(x1)>f(x2)， 故函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减． 【变式1】 判断函数f(x)＝在区间(1，＋∞)上的单调性，并用单调性定义加以证明． 解析　函数f(x)＝在区间(1，＋∞)上单调递减．证明如下： 任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1＜x2， 则f(x1)－f(x2)＝－ ＝＝. 因为x1＜x2，所以x2－x1＞0， 又x1，x2∈(1，＋∞)， 所以x2＋x1＞0，x－1＞0，x－1＞0. 所以＞0，即f(x1)＞f(x2)． 所以函数f(x)在区间(1，＋∞)上单调递减． 探究二　求函数的单调区间 规律总结 (1)函数单调区间的两种求法 ①图象法：先画出图象，根据图象求单调区间； ②定义法：先求出定义域，再利用定义进行判断求解． (2)函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上的单调区间时，单调区间之间可用“，”或“和”分开，不能用“∪”；在单调区间D上，函数要么单调递增，要么单调递减，不能二者兼有． 【例题2】 (1)写出函数y＝－x2＋2|x|＋1的单调区间． (2)求函数f(x)＝x＋(x＞0)的单调区间． 解析　(1)y＝ 即y＝ 函数的大致图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]，(0,1]，单调递减区间为(－1,0]，(1，＋∞)． (2)设x1，x2是(0，＋∞)上的任意两个实数，且x1＜x2， 则f(x1)－f(x2)＝－＝(x1－x2)－＝. 因为0＜x1＜x2，所以x1－x2＜0，x1x2＞0. 由于x1x2－9的符号不能确定，因此需要对x1，x2的取值进行讨论．当x1，x2∈(0,3]时，有x1x2－9＜0， 即f(x1)－f(x2)＞0，所以f(x1)＞f(x2)， 所以f(x)在区间(0,3]上单调递减； 当x1，x2∈(3，＋∞)时，有x1x2－9＞0， 即f(x1)－f(x2)＜0，所以f(x1)＜f(x2)， 所以f(x)在区间(3，＋∞)上单调递增． 所以函数f(x)＝x＋(x＞0)的单调递减区间是(0,3]，单调递增区间是(3，＋∞)． 【变式2】 (1)作出函数f(x)＝的图象，并指出函数f(x)的单调区间． (2)求函数f(x)＝的单调区间． 解析　(1)f(x)＝的图象如图所示． 由图可知函数f(x)＝的单调递减区间为(－∞，1]和(1,2)，单调递增区间为[2，＋∞)． (2)由题意可知f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，∀x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1＜x2，有f(x1)－f(x2)＝. 因为x2＞x1＞－1， 所以x2－x1＞0,1＋x1＞0,1＋x2＞0， 所以f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)， 所以f(x)在(－1，＋∞)上单调递减， 同理可得f(x)在(－∞，－1)上也单调递减．故f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(－1，＋∞)． 探究三　函数单调性的应用 解题技巧 由函数单调性