3.1.2 第2课时 分段函数（教师用书Word）-【状元桥·优质课堂】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版 2019）

第二课时　分段函数 [学习目标] 通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用，强化数学运算的核心素养(难点)． 要点　分段函数的概念 在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值范围，函数有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数． 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)分段函数的“段”都是等长的．(　　) (2)分段函数尽管在定义域不同的部分有不同的对应关系，但它们是一个函数．(　　) (3)分段函数各段上的函数值集合的交集为∅.(　　) (4)分段函数的定义域是各段上自变量取值的并集．(　　) 提示　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 探究一　分段函数的图象及应用 规律总结 分段函数图象的画法 (1)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏． (2)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象． 【例题1】 已知函数f(x)＝1＋(－2<x≤2)． (1)用分段函数的形式表示该函数； (2)画出该函数的图象； (3)写出该函数的值域． 解析　(1)当0≤x≤2时，f(x)＝1＋＝1， 当－2＜x＜0时，f(x)＝1＋＝1－x. 所以f(x)＝ (2)函数f(x)的图象如图所示． (3)由(2)知，f(x)在(－2,2]上的值域为[1,3)． 【变式1】 如图所示，函数f(x)的图象是折线ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)． (1)求f(f(0))的值； (2)求函数f(x)的解析式． 解析　(1)观察题中函数f(x)的图象，可得f(f(0))＝f(4)＝2. (2)设AB所对应的函数解析式为y＝kx＋b(k≠0)，0≤x≤2，将点(0,4)与(2,0)代入上式，得解得 所以y＝－2x＋4,0≤x≤2. 同理可知，BC所对应的函数解析式为y＝x－2，2<x≤6. 综上，f(x)＝ 探究二　分段函数的求值方法 解题技巧 分段函数的求值方法 在求分段函数值f(x0)时，分清x0所在的区间是关键，然后选择相应的解析式代入即可．反之，由f(x0)的值求x0，可通过图象得出x0所在的区间，再选择相应的解析式列方程求解；也可以利用每一区间上的解析式列方程求x0，然后检验x0是否属于相应区间． 【例题2】 (1)已知函数f(x)＝则f(f(1))＝______. (2)已知函数f(x)＝若f(x)＝3，则x＝________. 解析　(1)因为1∈[－1,1]，所以f(1)＝3×1＝3.又3∈(1,5)，所以f(3)＝32－4×3＋6＝3，即f(f(1))＝3. (2)若x≤－1，则x＋2＝3，解得x＝1>－1(舍去)；若－1<x<2，则x2＝3，解得x＝±，由于－<－1，故x＝.综上，x＝. 答案 (1)3　(2) 【变式2】 已知f(x)＝ (1)求f的值； (2)若f(a)＝4，且a>0，求实数a的值． 解析　(1)易知f＝f＝f＝f＝f＝2×＋1＝2，所以f的值为2. (2)当0<a<2时，由f(a)＝2a＋1＝4，得a＝；当a≥2时，由f(a)＝a2－1＝4，得a＝或a＝－(舍去)． 综上所述，a的值为或. 探究三　分段函数的实际应用 高考拓展 某些实际问题的函数解析式常用分段函数表示，需针对自变量的分段变化情况，列出各段不同的解析式，再根据自变量的不同取值范围，分段画出函数的图象，最后求解有关问题． 【例题3】 我国北方许多城市缺水，为了节约用水，某市出台了一项水费政策，规定每人每季度用水量不超过5吨时，每吨水费2.4元，超过5吨而不超过6吨时，超过部分的水费加收100%，超过6吨而不超过7吨时，超过部分的水费加收200%，如果某人本季度实际用水量为x(x≤7)吨，试计算本季度他应交的水费y(单位：元)． 解析　由题意可知，①当0≤x≤5时，y＝2.4x； ②超过5吨而不超过6吨时，超过部分的水费加收100%，即当5＜x≤6时，y＝2.4×5＋(x－5)×4.8＝4.8x－12； ③超过6吨而不超过7吨时，超过部分的水费加收200%，即当6＜x≤7时，y＝2.4×5＋1×4.8＋(x－6)×7.2＝7.2x－26.4. 所以y＝ 【变式3】 某汽车以52 km/h的速度从A地行驶到距A地260 km处的B地，在B地停留1.5 h后，再以65 km/h的速度返回A地，试将汽车离开A地后行驶的路程s(单位：km)表示为时间t(单位：h)的函数． 解析　因为260÷52＝5(h)，260÷65＝4(h)，所以当0≤t≤5时，s＝52t；当5<t≤6.5时，s＝260；当6.5<t≤1