3.1.2 第1课时 函数的表示法（教师用书Word）-【状元桥·优质课堂】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版 2019）

3．1.2　函数的表示法 第一课时　函数的表示法 (见学生用书P44) [学习目标] 在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数，理解函数图象的作用，提升直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养(重点)． 要点　函数的三种表示方法 思考：函数三种表示法的优缺点是什么？ 提示　 表示法 优点 缺点 解析法 一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是利用解析式可求任一函数值 不够形象、直观，而且并不是所有函数都有解析式 列表法 不需计算，可以直接看出与自变量的值相对应的函数值 只能表示自变量取较少的有限值时的对应关系 图象法 能形象、直观地表示函数的变化情况 只能近似求出自变量的值所对应的函数值，而且有时误差较大 探究一　函数解析式的求法 解题技巧 求函数解析式的常用方法 (1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程(组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式． (2)换元法(有时可用“配凑法”)：已知函数f(g(x))的解析式求f(x)的解析式，可用换元法(或“配凑法”)，即令g(x)＝t，反解出x，然后代入f(g(x))中求出f(t)，从而求出f(x)． (3)方程组法：分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或应用方程的性质去分析、转化解决问题．已知f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还有其他未知量，如f(－x)，可根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)． 【例题1】 (1)已知f(x)＝x2＋2，求f(x－1)，f(x＋2)． (2)已知f(x＋1)＝x2＋2x，求f(x)． (3)已知f(x)＋2f＝x(x≠0)，求f(x)． 解析　(1)f(x－1)＝(x－1)2＋2＝x2－2x＋3， f(x＋2)＝(x＋2)2＋2＝x2＋4x＋6. (2)令t＝x＋1，则x＝t－1， 所以f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1， 即f(x)＝x2－1. (3)已知f(x)＋2f＝x，将原式中的x与互换，得f＋2f(x)＝.于是得关于f(x)，f的方程组 解得f(x)＝－(x≠0)． 【变式1】 (1)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝4x－1，则f(x)的解析式为________. (2)已知函数f(x)对任意的x∈R都满足f(x)＋2f(－x)＝3x－2，则f(x)的解析式为____. 解析　(1)依题意设f(x)＝ax＋b(a≠0)， 则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a2x＋ab＋b＝4x－1， 所以解得或 所以f(x)＝2x－或f(x)＝－2x＋1. (2)由f(x)＋2f(－x)＝3x－2，知f(－x)＋2f(x)＝－3x－2，联立方程组解得f(x)＝－3x－，所以f(x)＝－3x－. 答案 (1)f(x)＝2x－或f(x)＝－2x＋1 (2)f(x)＝－3x－ 探究二　函数列表法的运用 规律总结 用列表法表示函数，不需要经过计算，就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值，但它只能表示自变量个数较少的函数关系，而且从表中不易看出自变量与函数间的对应关系，也不能直观反映函数值的变化规律． 【例题2】 已知函数f(x)，g(x)分别由两个表格给出. x 1 2 3 f(x) 1 3 1 x 1 2 3 g(x) 3 2 1 f(g(1))的值为________；满足f(g(x))>g(f(x))的x的值是______. 解析　由已知g(1)＝3，所以f(g(1))＝f(3)＝1. f(g(x))与g(f(x))的对应值表如表所示. x 1 2 3 f(g(x)) 1 3 1 g(f(x)) 3 1 3 由表可知满足f(g(x))>g(f(x))的x的值是2. 答案 1　2 【变式2】 在某洗衣店中，每洗一次衣服需付费4元，如果在这家洗衣店洗衣满12次，则其后可以免费洗1次，假设某人在这家店中洗了16次衣服． (1)根据题意填写表格； 洗衣次数n 5 8 12 13 16 洗衣费c/元 (2)“费用c是次数n的函数”还是“次数n是费用c的函数”？ 解析　(1)填表如下. 洗衣次数n 5 8 12 13 16 洗衣费c/元 20 32 48 48 60 (2)由n＝12,13时，c＝48可知，次数n与费用c是一个“多对一”的对应，根据函数的定义，只能是“费用c是次数n的函数”． 探究三　函数图象的作法及应用 误区防错 作函数图象的注意事项 (1)应先确定函数的定义域，在定义域内作图． (2)图象是实线或实点，定义域外的部分有