3.1.1 函数的概念（教师用书Word）-【状元桥·优质课堂】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版 2019）

第三章　函数的概念与性质 3．1　函数的概念及其表示 3．1.1　函数的概念 [学习目标] 1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用，培养数学抽象的核心素养.2.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域，培养数学运算的核心素养(重点)． 要点一　函数的概念 1．函数的概念 前提：A，B是非空的实数集. 结论：f：A―→B称为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A. 2．函数的定义域与值域 函数y＝f(x)中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集. 思考：(1)在函数的概念中，如果函数y＝f(x)的定义域与对应关系确定，那么函数的值域确定吗？ (2)如果函数y＝f(x)的定义域、值域确定，那么对应关系确定吗？ 提示　(1)确定，一一对应． (2)不确定，例如函数的定义域为A＝{－1,0,1}，值域为B＝{0,1}，则对应关系f(x)＝x2或f(x)＝|x|均可． 要点二　区间与无穷的概念 1．区间的定义及表示 设a，b是两个实数，而且a＜b.在数轴上表示时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点． 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a＜x＜b} 开区间 (a，b) {x|a≤x＜b} 左闭右开 [a，b) {x|a＜x≤b} 左开右闭 (a，b] 这里的实数a与b都叫做相应区间的端点. 2．无穷的概念及无穷区间的表示 定义 R {x|x≥a} {x|x＞a} {x|x≤a} {x|x＜a} 符号 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a) 表格中的“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”． 要点三　函数的三要素 1．函数的三要素是函数的定义域、对应关系、值域. 2．同一个函数：因为函数的值域是由定义域和对应关系决定的，所以如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数． 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)任何两个集合之间都可以建立函数关系．(　　) (2)已知定义域和对应关系就可以确定一个函数．(　　) (3)定义域中的某一个x可以对应着不同的y.(　　) (4)区间不可能是空集．(　　) 提示　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 探究一　函数概念的应用 规律总结 判断函数关系的步骤 首先，观察两个实数集A，B是否非空；其次，验证在对应关系下，集合A中数x的任意性和集合B中数y的唯一性，也就是既不能没有数y对应数x，也不能有多于一个的数y对应数x. 【例题1】 下列对应关系是否为集合A到集合B的函数？ (1)A＝R，B＝{x|x≥0}, f：x→y＝|x|； (2)A＝R，B＝R, f：x→y＝； (3)A＝R，B＝Z, f：x→y＝； (4)A＝[－2,2]，B＝{1}, f：x→y＝1. 解析　(1)A中的任一元素按照对应关系y＝|x|，在B中都有唯一确定的元素与之对应，故此对应关系是集合A到集合B的函数． (2)A中的元素0在B中没有对应元素，故此对应关系不是集合A到集合B的函数． (3)负数没有平方根，故A中的负数元素在B中没有对应的元素，且不一定是整数，故此对应关系不是集合A到集合B的函数． (4)对于集合A中任意一个实数x，按照对应关系f：x→y＝1，在集合B中都有唯一一个确定的数1与它对应，故此对应关系是集合A到集合B的函数． 【变式1】 (多选)下面选项中，变量y是变量x的函数的是(　　) A．x表示某一天中的时刻，y表示对应的某地区的气温 B．x表示年份，y表示对应的某地区的GDP (国内生产总值) C．x表示某地区的学生某次数学考试成绩，y表示该地区学生对应的考试号 D．x表示某人的月收入，y表示对应的个税 AB答案　D 解析　根据函数的定义可知，A，B，D项均满足函数的定义；C项，同一个分数可以对应多个考试号，不满足对于任意的x，都有唯一的y与之对应，故C项错误．故选ABD项． 探究二　求函数的定义域 规律总结 不同类型函数的定义域 (1)f(x)为整式型函数时，定义域为R. (2)f(x)为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数的集合． (3)f(x)为二次根式(偶次根式)型函数时，定义域为使被开方数非负的实数的集合． (4)函数y＝x0中的x不为0. (5)如果函数是一些简单函数通过四则运算结合而