2.3.1 二次函数与一元二次方程、不等式(一)（教师用书Word）-【状元桥·优质课堂】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版 2019）

2．3　二次函数与一元二次方程、不等式 2．3.1　二次函数与一元二次方程、不等式(一) [学习目标] 1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系，培养数学抽象的核心素养.2.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集，培养数学运算的核心素养(重点).3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系，培养直观想象和逻辑推理的核心素养(难点)． 要点一　一元二次不等式的定义 一般地，把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0，其中a，b，c均为常数，a≠0. 练习：(多选)下列说法一定正确的是(　　) A．不等式ax2＋x－1<0(a为常数)是一元二次不等式 B．不等式x2－5y<0不是一元二次不等式 C．不等式－x2－2x＋3>0是一元二次不等式 D．不等式x2>0不是一元二次不等式 答案　BC 解析　A项，当a＝0时，不等式ax2＋x－1<0是一元一次不等式，故错误；B项，不等式中含有x和y两个未知数，所以不是一元二次不等式，故正确；C项，不等式－x2－2x＋3>0符合一元二次不等式的概念，故正确；D项，不等式x2>0符合一元二次不等式的概念，故错误．故选BC项． 要点二　二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的关系 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 两个不相等的 实数根x1，x2 两个相等的 实数根x1，x2 没有实数根 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 {x|x<x1 或x>x2} R ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 {x|x1< x<x2} ∅ ∅ 思考：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集何时为实数集R？何时为空集？ 提示　当a>0，且Δ<0时，因为二次函数的图象总在x轴的上方，所以此时的解集为R；而当a<0，且Δ≤0时，因为二次函数的图象开口向下，且与x轴相切于一点或无交点，所以此时的解集为空集. 探究一　解简单的一元二次不等式 规律总结 求简单一元二次不等式解集的一般步骤 (1)化一元二次不等式为标准形式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0(a>0)． (2)求出一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根，或根据判别式说明方程没有根． (3)根据根的情况和二次函数的图象写出不等式的解集． 当一元二次不等式为ax2＋bx＋c≥0或ax2＋bx＋c≤0时，要注意解集的端点． 【例题1】 求下列一元二次不等式的解集． (1)x2－5x>6； (2)4x2－4x＋1≤0； (3)－x2＋7x>6； (4)－x2＋6x－9>0. 解析　(1)由x2－5x>6，得x2－5x－6>0. 因为x2－5x－6＝0的两根是x1＝－1和x2＝6， 所以原不等式的解集为{x|x<－1或x>6}． (2)4x2－4x＋1≤0，即(2x－1)2≤0，则x＝， 故4x2－4x＋1≤0的解集为. (3)由－x2＋7x>6，得x2－7x＋6<0， 而x2－7x＋6＝0的两个根是x1＝1和x2＝6. 所以不等式x2－7x＋6<0的解集为{x|1<x<6}． (4)原不等式可化为x2－6x＋9<0，即(x－3)2<0， 所以原不等式的解集为∅. 【变式1】 求下列不等式的解集． (1)－2x2＋3x＋2<0； (2)－2x2＋x－6<0； (3)9x2＋6x＋1>0； (4)x2＋25≤10x. 解析　(1)原不等式可化为2x2－3x－2>0， 因为2x2－3x－2＝0的两根是x1＝－和x2＝2， 所以原不等式的解集为. (2)原不等式可化为2x2－x＋6>0， 因为方程2x2－x＋6＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×2×6<0，所以函数y＝2x2－x＋6的图象开口向上，且与x轴无交点．所以不等式的解集为R. (3)因为9x2＋6x＋1＝(3x＋1)2>0， 所以原不等式的解集为. (4)原不等式可化为x2－10x＋25≤0，即(x－5)2≤0， 所以原不等式的解集为{x|x＝5}． 探究二　解含参数的一元二次不等式 规律总结 解含参数的一元二次不等式与解一般的一元二次不等式的基本思路是一致的，但要注意分类讨论思想的应用．其讨论标准是： (1)对二次项系数进行大于零、小于零、等于零的分类讨论； (2)当二次项系数不等于零时，再对判别式进行大于零、小于零、等于零的分类讨论； (3)当判别式大于零时，再对两