2.3.1 二次函数与一元二次方程、不等式(二)（教师用书Word）-【状元桥·优质课堂】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版 2019）

2．3.2　二次函数与一元二次方程、不等式(二) [学习目标] 1.会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式，提升数学运算的核心素养(重点).2.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解决，提升数学建模的核心素养(重点).3.掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法，强化数学运算的核心素养(难点)． 要点　一元二次不等式恒成立问题 1．一元二次不等式恒成立问题常用的两种思路 (1)转化为一元二次不等式解集为R的情况，即ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立⇔ax2＋bx＋c≥0(a≠0)恒成立⇔ax2＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立⇔ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立⇔ (2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题，即k≥f(x)恒成立⇔k≥f(x)max；k≤f(x)恒成立⇔k≤f(x)min. 2．(1)当未说明不等式为一元二次不等式时，不等式ax2＋bx＋c＞0对任意实数x恒成立⇔或 (2)当未说明不等式为一元二次不等式时，不等式ax2＋bx＋c＜0对任意实数x恒成立⇔或 探究一　解分式不等式 规律总结 解分式不等式时一般先把分式不等式转化为整式不等式，再用解整式不等式的方法求解．分式不等式转化为整式不等式的常见情形有：>0⇔f(x)g(x)>0，<0⇔f(x)g(x)<0，≥0⇔≤0⇔ 【例题1】 求下列不等式的解集． (1)>0；　　　　　(2)≥0； (3)≤2; (4)>3. 解析　(1)原不等式与(3＋x)(2－x)>0同解， 即与(x＋3)(x－2)<0同解， 故所求不等式的解集是. (2)原不等式与同解， 故所求不等式的解集是{x|x<－4或x≥1}． (3)原不等式即－2≤0， 故≤0，即≥0， 则原不等式与同解， 故所求不等式的解集为{x|x≤－4或x>－2}． (4)原不等式即－3>0，即>0，即>0， 则原不等式与x(3－4x)>0同解，即x(4x－3)<0， 故所求不等式的解集为. 【变式1】 解下列关于实数x的不等式． (1)≤0; (2)≥1； (3)>； (4)≤. 解析　(1)不等式与同解， 即 故所求不等式的解集为. (2)不等式即－1≥0，所以≥0， 所以≤0，这与同解， 故所求不等式的解集为. (3)不等式即－＞0，即>0，即>0，这与不等式(3x－1)(3x＋2)＞0同解．故所求不等式的解集为. (4)不等式即－≤0，与同解， 则即 这与同解， 故所求不等式的解集为{x|x<－1或0＜x＜1或x＞1}． 探究二　一元二次不等式的恒成立问题 规律总结 (1)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是自变量，求谁的范围，谁就是参数．分离参数法是解决不等式恒成立问题的一种行之有效的方法． (2)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定范围内全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定范围内全部在x轴下方． 【例题2】 已知不等式mx2－2x＋m－2<0. (1)若对于所有的实数x，不等式恒成立，求m的取值范围； (2)设不等式对于满足|m|≤2的一切m的值都成立，求x的取值范围． 解析　(1)对所有实数x，不等式mx2－2x＋m－2<0恒成立，即函数f(x)＝mx2－2x＋m－2的图象全部在x轴下方．当m＝0时，－2x－2<0，显然对任意x不能恒成立；当m≠0时，由二次函数的图象得解得m<1－.综上，m的取值范围是{m|m＜1－}． (2)设g(m)＝(x2＋1)m－2x－2，它是一个以m为自变量的一次函数，由x2＋1>0知，g(m)在－2≤m≤2上单调递增，则只需g(2)<0即可，即2x2＋2－2x－2<0，解得0<x<1.故x的取值范围是{x|0＜x＜1}． 【变式2】 当a为何值时，不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1<0的解集是全体实数？ 解析　①当a2－1＝0，即a＝±1时， 若a＝1，则原不等式为－1<0，恒成立； 若a＝－1，则原不等式为2x－1<0，即x<，不符合题目要求，舍去． ②当a2－1≠0，即a≠±1时，原不等式的解集为R的条件是解得－<a<1. 综上所述，当－＜a≤1时，原不等式的解集是全体实数． 探究三　一元二次不等式的实际应用 规律总结 解不等式应用题的步骤 (1)读：阅读理解、认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系； (2)建：将文字语言转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型； (3)解：解不等式，得到数学结论，要注意数学模型中元素的实际意义； (4)答：回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果． 【例题3】 某企业上年度的年利润为200万元，本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本，投入成本增加的比例为x(